Expectativa de la medida de dirac de una función

Question

Supongamos que $\pi(dx)$ es una medida, $\phi$ es una función determinista y $\delta_{\phi(x)}(A)$ es la medida de Dirac. La medida de Dirac puede considerarse una función medible (¿creo? Debe ser un núcleo) para un conjunto fijo $A$ . ¿Cuál es la expectativa de $\delta_{\phi(\cdot)}(A)$ con respecto a $\pi$ ? $$ \int \delta_{\phi(x)}(A)\,\, \pi(dx) = \int_A\pi(d\phi(x)) \qquad ??? $$

Answer 1

La medida de Dirac es : $$\delta_{\phi(x)}(A) = \left\{\begin{array}{cl} 1 & \text{if } \phi(x) \in A \\ 0 & \text{else} \end{array}\right. = \chi_{\phi^{-1}(A)}(x)$$

con $\chi$ la función de indicador.

Por lo tanto, $$\int \delta_{\phi(x)}(A) \pi(\text{d}x) = \int \chi_{\phi^{-1}(A)}(x) \pi(\text{d}x) = \pi\circ\phi^{-1}(A)$$