Sea $A$ sea un anillo conmutativo y $M$ a finitely generated $A$ -módulo. Entonces la dimensión de $M$ se define como la dimensión de cociente $A/ann(M)$ donde $ann(M)$ representa el aniquilador de $M$ .
Pregunta: ¿qué intuición hay detrás de esta definición?
Para un noetheriano de grado Z positivo $k$ -álgebra ( $k$ un campo), la dimensión de Krull mide la tasa de crecimiento de la función de Hilbert (es asintóticamente un polinomio de grado $d-1$ donde $d$ es la dimensión de Krull). Lo mismo se aplica a los módulos graduados finitamente generados. La intuición aquí es que la función de Hilbert del módulo crece aproximadamente como un escalar multiplicado por la función de Hilbert de $A/ann(M)$ (el escalar podría interpretarse como el rango del módulo si su soporte es irreducible) pero puede haber "términos de orden inferior" en el fondo, que pueden ignorarse desde el punto de vista del grado de orden de crecimiento.
En el caso no graduado, pero local, podemos reducir a una situación graduada observando los módulos graduados asociados con respecto a potencias del ideal máximo $m$ (o cualquier $m$ -ideal primario).
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