¿Es $h(n)$ independiente de $n$?

Question

Sea $n$ un entero positivo. Sea $f(n) = \lfloor\frac{8n+13}{25}\rfloor$ y $g(n) = \lfloor\frac{n-17}{25}\rfloor$.

Ahora consideremos $$h(n) = f(n) - \lfloor\frac{n - 12 - g(n)}{3}\rfloor$$ Luego calculé los valores de $h(n)$ para varios valores de $n$ y siempre obtengo que $h(n)=4$. De hecho, ejecuté un código en C y lo verifiqué hasta $n = 10^6$. Pero no logro probar esta igualdad. ¿Cómo puedo demostrar esto?

Answer 1

Sea $n=25k+r$ para algunos enteros no negativos $k, r$ con $r<25$. Entonces tenemos

$$\left\lfloor\frac{n-12-\left\lfloor\frac{n-17}{25}\right\rfloor}{3}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{24k+r-12-\left\lfloor\frac{r-17}{25}\right\rfloor}{3}\right\rfloor = 8k-4+\left\lfloor\frac{r-\left\lfloor\frac{r-17}{25}\right\rfloor}{3}\right\rfloor.$$

También tenemos

$$\left\lfloor\frac{8n+13}{25}\right\rfloor=8k+\left\lfloor\frac{8r+13}{25}\right\rfloor.$$

Así que basta con demostrar que para cualquier entero no negativo $r<25$,

$$\left\lfloor\frac{8r+13}{25}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{r-\left\lfloor\frac{r-17}{25}\right\rfloor}{3}\right\rfloor=0.$$

Intenta demostrar que esto es cierto.