Necesito un contraejemplo relacionado con Interior y Cierre

Question

Donde "cl" denota cierre, "int" denota interior.Estoy buscando un Único ejemplo de subconjunto $A$ de algún espacio topológico $X$ donde todos los conjuntos siguientes son desiguales:

$1.$ A

$2.$ int(A),

$3.$ cl(A),

$4.$ int(cl(A)),

$5.$ Cl(int(cl(A)),

$6.$ cl(int(A)),

$7.$ int(cl(int(A)))

Está claro que tal conjunto $A$ no está ni abierto ni cerrado. $\mathbb R$ con topología habitual Es fácil construir algún ejemplo utilizando intervalos y $\mathbb Q$ Pero me resulta un poco difícil construir un ejemplo en el que todos los conjuntos anteriores sean desiguales. $7$ Los conjuntos son desiguales. ¿Alguna pista o idea?

Answer 1

CONSEJO: Hazlo por partes. Deje que $A_1=[0,1)\cup(1,2)\cup\{3\}$ Entonces $\operatorname{cl}A_1=[0,2]\cup\{3\}$ , $\operatorname{int}\operatorname{cl}A_1=(0,2)$ y $\operatorname{cl}\operatorname{int}\operatorname{cl}A_1=[0,2]$ . Además, $\operatorname{int}A_1=(0,1)\cup(1,2)$ así que nos hemos ocupado de todo excepto $\operatorname{cl}\operatorname{int}A$ y $\operatorname{int}\operatorname{cl}\operatorname{int}A$ .

Ahora dejemos que $A_2=(-1,4)\setminus A_1=(-1,0)\cup\{1\}\cup[2,3)\cup(3,4)$ . Demuestre que $A_2$ , $\operatorname{cl}A_2$ , $\operatorname{int}A_2$ , $\operatorname{cl}\operatorname{int}A_2$ y $\operatorname{int}\operatorname{cl}\operatorname{int}A_2$ son todos distintos.

¿Y si tuvieras un conjunto $A$ que era como una unión discreta de $A_1$ y $A_2$ ? ¿Y cómo se puede hacer un conjunto así?

Answer 2

Pruebe $A = ([0,2] \cap \mathbb{Q}) \cup \{ 3 \} \cup (4,5) \cup (5,6) \subseteq \mathbb{R}$ con la topología habitual.

Edición: después de mirar el "posible duplicado" anterior, los comentarios muestran una solución casi idéntica.