grupo fundamental finito no trivial

Question

Soy estudiante de física y quiero saber sobre grupo fundamental finito de subespacio de $\mathbb{R}^3 $ . ¿Existe un subespacio de $\mathbb{R}^3$ con grupo fundamental finito no trivial?

Sólo estoy familiarizado con $\pi_1(RP^n)$ para n>1 y $\pi_1 (SO(n)) $ para n>2, que tienen grupo fundamental finito no trivial y $RP^2$ no puede incrustarse en $\mathbb{R}^3 $ .

Gracias.

Answer 1

La respuesta a la pregunta planteada es "no sabemos si existen subconjuntos de $R^3$ con grupos fundamentales finitos no triviales". Tampoco se sabe si existen subconjuntos de $R^3$ cuyos grupos fundamentales contienen elementos no triviales de orden finito. Este último tema se trató en este Pregunta Mathoverflow. A continuación, un grupo $G$ se llama sin torsión si no contiene elementos no triviales de orden finito.

Mi opinión personal es que los invariantes estándar de la topología algebraica, como los grupos fundamentales, los grupos de homotopía y los grupos de homología singulares, están diseñados para funcionar con espacios "agradables" y no deberían utilizarse para espacios topológicos arbitrarios (en su lugar, habría que utilizar "versiones Chech" de los invariantes estándar). El concepto de "bonito" es un poco vago, pero incluye los múltiples, complejos simpliciales en general, complejos celulares . Todos estos espacios comparten la propiedad de ser localmente contractible . Ejemplos de espacios topológicos (incluso entre subconjuntos compactos de $R^n$ ) que no son agradables son el conjunto de Cantor, Círculo de Varsovia , Pendiente hawaiano (y muchos más). La lista de "espacios agradables" podría incluir algo más general, espacios que son conectado localmente y semi-simplemente conectada . Esta última combinación de condiciones aparece con frecuencia en la teoría de los espacios de cobertura (si se lee cualquier libro de topología algebraica introductoria es casi seguro que se encontrarán estas nociones). Informalmente hablando, estas dos condiciones para un espacio topológico $X$ media:

(a) Dos puntos cualesquiera en $X$ que estén suficientemente cerca pueden conectarse por un camino en $X$ cerca de estos puntos.

(b) Cada bucle suficientemente pequeño en $X$ es nulo-homotópico en $X$ .

Los ejemplos de espacios "no agradables" que he dado antes violan una de estas dos propiedades.

Esto es lo que puedo probar:

Teorema. Supongamos que $X\subset R^3$ es un subconjunto cerrado que está localmente conectado por caminos y semilocalmente simplemente conectado. Entonces $G=\pi_1(X,x)$ no tiene torsión.

Esquema de la prueba. Sea $c: S^1\to X$ sea un bucle en $X$ (con sede en $x\in X$ ) que representa un elemento de orden finito en $G$ . Consideremos un sistema de barrios abiertos $U_i$ de $X$ en $R^3$ es decir, subconjuntos abiertos de $R^3$ que contiene $X$ cuya intersección es igual a $X$ : $$ \bigcap_{i\ge 1} U_i=X. $$ Como expliqué en mi respuesta aquí grupos fundamentales de abra subconjuntos de $R^3$ son libres de torsión. Por lo tanto, para cada $i$ el grupo $\pi_1(U_i, x)$ no tiene torsión. Dado que $c$ representa un elemento de orden finito de $\pi_1(X,x)$ también representa un elemento de orden finito de $\pi_1(U_i, x)$ . Por lo tanto, este elemento de $\pi_1(U_i, x)$ es trivial.

Por lo tanto, para cada $i$ existe una extensión (continua) $f_i: D^2\to U_i$ de $c: S^1\to X$ donde $D^2$ es el disco unitario con el límite $S^1$ . Pensando un poco más, se ve que las imágenes $f_i(D^2)$ se puede elegir que se encuentre en un subconjunto compacto fijo $K\subset R^3$ (independiente de $i$ ), es decir, cualquier bola redonda cerrada que contenga $c(S^1)$ funcionaría. Ahora, suponiendo que $X$ es a la vez localmente conexo y semilocalmente conexo simple, para todo lo suficientemente grande $i$ se puede "empujar" $f_i$ en $X$ es decir, encontrar un mapa continuo $g_i: D^2\to X$ "cerca" de $f_i$ tal que la restricción de $g_i$ a $S^1$ es igual a $c$ . Omito la prueba, imita el argumento "estándar" debido a Borsuk de que los espacios compactos finito-dimensionales localmente contractibles son repliegues de vecindad absolutos. (Tomemos una triangulación suficientemente fina de $D^2$ . Para los vértices $v$ de la triangulación definen $g_i(v)$ sea un punto en $X$ más cercano a $f_i(v)$ . A continuación, utilice la conexión local para $X$ ampliar $g_i$ a las aristas, y luego utilizar la conectividad simple semilocal de $X$ ampliar $g_i$ a las caras de la triangulación). No necesito infinitas $g_i$ 's, sólo uno, llámalo $g$ . Así, encontramos un mapa continuo $g: D^2\to X$ ampliando $c: S^1\to X$ Por lo tanto, $c$ representa el elemento trivial de $G=\pi_1(X)$ . En otras palabras, $G$ es libre de torsión. qed