Más concretamente, sólo quiero demostrar que en un anillo noetheriano (incluso Dedekind), todo ideal está contenido en un ideal máximo. ¿Es necesario aquí el axioma oh choice? Las pruebas habituales (para los anillos generales se utiliza el lema de Zorn; para los anillos noetherianos se puede construir una cadena ascendente infinita si no hay ningún elemento maximal) parecen basarse en él.
Si también se puede evitar el axioma de la elección dependiente, aún mejor.
En realidad, depende de cómo se definan los anillos noetherianos. Las dos definiciones más comunes son:
Un anillo en el que cada conjunto no vacío de ideales tiene un elemento maximal.
Un anillo que satisface la condición de cadena ascendente en los ideales: toda secuencia no decreciente de ideales es finalmente constante.
El hecho de que (1) implica (2) es claro, pero la implicación de (2) a (1) no es demostrable sin alguna forma débil del Axioma de Elección (específicamente, el Axioma de la elección dependiente ).
Ahora, usando la primera definición, es trivial que todo ideal propio $I$ en un anillo noetheriano $R$ está contenida en una máxima. Tomemos la colección $\mathcal{A}$ de ideales propios de $R$ que contienen $I$ . Tenga en cuenta que $\mathcal{A}$ es no vacía ya que $I \in \mathcal{A}$ . Por lo tanto, $\mathcal{A}$ tiene un elemento máximo $M$ que debe ser un ideal máximo de $R$ por definición de $\mathcal{A}$ .
Usando la segunda definición, no es demostrable sin ninguna forma de elección que todo ideal propio $I$ en un anillo noetheriano $R$ está contenida en una máxima. Es tentador proceder por contradicción. Supongamos que no hay ningún ideal maximal que contenga a $I$ . Desde $I$ no es máxima, podemos encontrar un ideal propio $I' \supsetneq I$ . Desde $I'$ no es máxima, podemos encontrar un ideal $I'' \supsetneq I'$ . Y así sucesivamente, obteniendo una cadena estrictamente ascendente $$I \subsetneq I' \subsetneq I'' \subsetneq \cdots$$ Sin embargo, cada paso de esta construcción requiere la elección de un ideal que amplíe el anterior, infinitas elecciones en total. En el caso general, se necesita el axioma de elección dependiente para justificar esto.
Obsérvese que el axioma de elección dependiente sólo es necesario para el caso general . Por ejemplo, si el anillo $R$ es contable, entonces el proceso descrito anteriormente puede hacerse efectivo. Sea $x_0,x_1,\dots$ sea una enumeración fija de $R$ . Para elegir $I'$ , escudriñar la enumeración de $R$ hasta encontrar un elemento $x_i$ tal que $x_i \notin I$ y $I + Rx_i \neq R$ , entonces dejemos que $I' = I + Rx_i$ y continuar de la misma manera para encontrar $I'', I''', \dots$ Si $I$ no está contenido en un ideal maximal, entonces tal $x_i$ siempre se puede encontrar y así contradecimos la condición de la cadena ascendente.
La página web de Fred Richman tiene algunos artículos sobre las matemáticas sin elección contable (y sin el principio del medio excluido), incluyendo un desarrollo sin elección de la teoría de los anillos noetherianos.
http://math.fau.edu/richman/HTML/DOCS.HTM
http://math.fau.edu/richman/Docs/new-acc.htm
La definición de noeteriano por la condición de cadena ascendente provoca una dependencia de la elección dependiente contable. Para construir una teoría sin principios no constructivos de elección o de medio excluido, hay que formular una definición alternativa de noetérico que (en presencia de esos principios) sea equivalente a la condición de cadena habitual, que no sea equivalente sin los principios constructivos, y que sea lo suficientemente fuerte como para permitir que las partes importantes de la teoría no constructiva se construyan.
No he visto si el artículo de Richman discute los ideales maximales (en su formulación clásica), ya que son menos útiles constructivamente, o si demuestra el resultado que buscas. Pero creo que su trabajo demuestra en cierta medida que, en principio, toda la teoría podría reconstruirse sin utilizar AC, DC o CC. Esto es tal vez similar a la eliminación gradual de las hipótesis noetherianas en (algunos) teoremas de geometría algebraica en los que es habitual suponer una dimensionalidad finita, pero los resultados podrían enunciarse con mayor generalidad, después de reformularlos de una forma que sea equivalente en el caso noetheriano pero también verdadera en el caso general.
No se necesita AC para los anillos noeterianos. De hecho, fijar un ideal $I$ de $A$ . Si $I$ es máxima, estás acabado. Si no, existe $I_1$ que contiene $I$ que es un ideal propio. Si $I_1$ no es máxima, se continúa el procedimiento, de manera que se obtiene una secuencia creciente $(I_n)$ de ideales propios de $A$ . Por la noeterianidad de $A$ es estacionario, es decir, para $n \geqslant N$ , $I_n=I_N$ y por lo tanto $I_N$ es máxima y contiene $I$ .
Además, se puede ver que la condición de cadena ascendente (ACC) utilizada en la prueba es equivalente a la generación finita de cada ideal.
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