Interpretación de los operadores de creación y aniquilación que actúan en el estado de un sistema en interacción

Question

Si tengo un sistema de $N$ fermiones no interactuantes, puedo escribir la función de onda del estado fundamental del sistema utilizando un determinante de Slater

$$ \Phi_{0}(\textbf{r}_{1}, ..., \textbf{r}_{N}) = \frac{1}{\sqrt{N!}} \begin{vmatrix} \phi_{k_{1}}(\textbf{r}_{1}) & \cdots & \phi_{k_{N}}(\textbf{r}_{1})\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \phi_{k_{1}}(\textbf{r}_{N}) & \cdots & \phi_{k_{N}}(\textbf{r}_{N}) \end{vmatrix}, $$

donde $\phi_{k}$ es la función de onda de una sola partícula de un fermión. Puedo definir los operadores $a_{k}$ y $a^{\dagger}_{k}$ que crean y aniquilan fermiones en el estado $\phi_{k}$ cuando actúan en el estado del sistema no interactuante.

Pero, si ahora estoy interesado en el estado de N fermiones interactuando, puedo escribir la función de onda total como una combinación lineal de todos los posibles determinantes de Slater

$$ \Psi_{0}(\textbf{r}_{1}, ..., \textbf{r}_{N}) = \sum_{n} C_{n} \Phi_{n} (\textbf{r}_{1}, ..., \textbf{r}_{N}).$$

Puedo interpretar $a^{\dagger}\Phi_{0}$ como el estado de un sistema de $N$ fermiones con un fermión añadido en estado $\phi_{k}$ . Mi pregunta es: ¿Puedo hacer la misma interpretación cuando aplico uno de los operadores de creación o aniquilación a $\Psi$ ? ¿Puedo decir que $a^{\dagger}_{k}\Psi_{0}$ es un estado de $N$ fermiones que interactúan con un fermión añadido en estado $\phi_{k}$ ?

Answer 1

En un modelo estrictamente no relativista La respuesta es sí: cada aplicación de un operador de creación canónico añade otra partícula al estado, y esto es así con o sin interacciones.

Dado que estamos hablando de operadores de creación/aniquilación, es conveniente una formulación QFT. En un modelo típico estrictamente no relativista, el operador numérico canónico conmuta con todos los observables, incluso si el Hamiltoniano incluye términos de interacción, como éste: $$ H\sim \int d^3x\ \psi^\dagger(x)\frac{-\nabla^2}{2m}\psi(x) + \int d^3x\, d^3y\ \psi^\dagger(x)\psi^\dagger(y)V(x-y)\psi(y)\psi(x) $$ con operadores de campo $\psi(x)$ satisfaciendo $\{\psi(x),\psi^\dagger(y)\}\sim\delta^3(x-y)$ . El operador numérico canónico en este caso es $\int d^3x\ \psi^\dagger(x)\psi(x)$ .

Para cada $N$ estados obtenidos del vacío aplicando un producto de $N$ operadores de creación $\psi^\dagger$ están en diferentes sectores de superselección diferentes valores de $N$ no están conectadas entre sí por ningún observable. (Ésta es una afirmación más fuerte que decir simplemente que el número de partículas se conserva, lo que sólo requiere que conmute con el Hamiltoniano). En este sentido, una QFT estrictamente no relativista como la ilustrada anteriormente es como una colección de teorías separadas, una para cada posible número $N$ de partículas. Los operadores canónicos de creación/aniquilación te llevan de un lado a otro entre esas teorías separadas.

De nuevo, esto es para modelos estrictamente no relativistas . Los modelos relativistas son otra historia.