Convexidad estricta de una función y mínimos globales

Question

Cómo demostrar que una función $\mathbb{ f:R\to R}$ es estrictamente convexo, ¿entonces un punto crítico es un mínimo global utilizando la expansión de Taylor en el punto crítico?

Answer 1

Demostremos primero que $f$ sólo puede tener un punto crítico. Por la condición de primer orden para funciones convexas diferenciables sabemos que por cada $v,u$ tenemos $$f(u)>f(v)+f'(v)(u-v)$$ . Si $x$ es un punto crítico, entonces $f'(x)=0$ y, por tanto, cada punto crítico es un mínimo estricto. Supongamos ahora que hay dos mínimos locales diferentes $x,y$ . Para $t \in (0,1)$ entonces tenemos $$f(tx+(1-t)y) < tf(x)+(1-t)f(y)$$ una contradicción con el hecho de que los mínimos sean estrictos. Por lo tanto, sólo hay un punto crítico que es un mínimo global.