¿Están las variedades definidas por conjuntos de niveles determinadas únicamente por gradientes?

Question

Sea $f : \mathbb R^n \mathbb R$ sea una función continuamente diferenciable con gradiente distinto de cero. Entonces, según el teorema de la función implícita un conjunto de niveles define un $n-1$ colector dimensional $M$ y el gradiente de $f$ es perpendicular a $M$ .

Ahora, supongamos que tenemos una segunda función $g : \mathbb R^n \mathbb R$ también continuamente diferenciable con gradiente distinto de cero.

Cómo demostrar o refutar precisamente que si para todos los puntos de $M$ (definido por el conjunto de niveles de $f$ ) la dirección del gradiente de $f$ y $g$ es idéntica (pero no la longitud), entonces $M$ es también una variedad definida por un conjunto de niveles de $g$ .

Answer 1

Supongamos que $M=f^{-1}(a), a\in R$ para cada $x$ en $M$ tenemos que demostrar que $g$ es constante en la componente conexa de $M$ que contiene $x$ . Sea $c:I\rightarrow M$ sea un camino diferenciable tal que $c(0)=x$ , ${d\over{dt}}g(c(t))=\nabla g_{c(t)}.c'(t)=u(t)\nabla f_{c(t)}c'(t)=0$ ya que la restricción de f a M es constante y $\nabla f$ es proporcional a $\nabla g$ . Esto implica que $g$ es constante en $c$ y en adelante en la componente conexa de $M$ que contiene $x$ .