Sea $B$ sea una curva modular (de cierto nivel) sobre un campo numérico $K$ (en este caso, suponemos implícitamente que $K$ es lo suficientemente grande como para que tenga sentido la frase " $B$ es un $K$ -variedad"). Sea $E\to B$ la curva elíptica universal. Para un punto geométrico dado $b\to B$ el espacio $\Gamma(E_b,\Omega^1_{E_b/b})$ es un espacio vectorial de 1 dimensión (sobre algún campo cerrado separable que defina $b$ ) donde $E_b$ es, como de costumbre, la fibra sobre $b$ . Sea $\{\omega_b\}_{b\to B}$ sea una base de recogida de $\Gamma(E_b,\Omega^1_{E_b/b})$ para todos los puntos geométricos $b\to B$ . ¿Podemos encontrar un $\omega$ dando $\omega_b$ para cada punto geométrico $b\to B$ ? Probablemente no sea una buena pregunta para responder. Así que intento hacerlo de una forma menos estúpida: Me pregunto si hay un elemento $\omega$ de $\Gamma(E,\Omega^1_{E/B})$ que corresponde a $\omega_b\in\Omega^1_{E/B,b}$ . Se puede pensar que esto está todavía muy lejos de estar bien planteado. Por lo tanto, cualquier sugerencia para mejorar el enunciado de la pregunta también sería muy apreciada.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Lo que estás buscando es una sección de la gavilla $\omega = \pi_* \Omega^1_{E/B}$ donde $\pi: E \to B$ es el mapa estructural, que es un haz de líneas sobre $B$ . Este haz de líneas $\omega$ tiene una extensión canónica a la compactificación $\bar{B}$ y las secciones globales de este haz de líneas sobre $\bar{B}$ son exactamente formas modulares de peso 1 (y más generalmente $H^0(\bar{B}, \omega^{\otimes k})$ es el espacio de peso $k$ formas modulares).
