Demuestre que $\mathbb{E}[X^2]< \infty \Longleftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty}n\mathbb{P}[|X|>n]< \infty$

Question

Demuestre que $\mathbb{E}[X^2]< \infty \Longleftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty}n\mathbb{P}[|X|>n]< \infty$

Intento utilizar la siguiente desigualdad: si $Y$ es una variable aleatoria no negativa, entonces $$ \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}[Y>n] \leq \mathbb{E}[Y] \leq 1+\sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}[Y>n]$$ En $Y:= X^2$ Recibo $$ \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}[X^2>n] \leq \mathbb{E}[X^2] \leq 1+\sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}[X^2>n]$$ pero no estoy seguro de cómo manipular la suma $\sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}[X^2>n]$ para que de alguna manera parezca $\sum_{n=1}^{\infty}n\mathbb{P}[|X|>n]$

Cualquier sugerencia o ayuda le estaré muy agradecido.

Answer 1

Sugiero la suma por partes. $$2\sum_{n=1}^N n\mathbb{P}[|X|>n]\le \sum_{n=1}^N [(n+1)^2-n^2]\mathbb{P}[|X|>n]\\ = \sum_{n=2}^{N+1}n^2\mathbb{P}[|X|>n-1]- \sum_{n=1}^{N}n^2\mathbb{P}[|X|>n]\\ = \sum_{n=2}^{N+1}n^2\mathbb{P}[n-1<|X|\le n]+(N+1)^2\mathbb{P}[|X|>N+1]\\ \le 4\sum_{n=2}^{N+1}(n-1)^2\mathbb{P}[n-1<|X|\le n]+\mathbb{E}[X^2]\\ \le 4\mathbb{E}[X^2]+\mathbb{E}[X^2]$$ Desde $N$ es arbitraria obtenemos $$\sum_{n=1}^\infty n\mathbb{P}[|X|>n]\le {5\over 2}\mathbb{E}[X^2]$$

Answer 2

Tenga en cuenta que $$ \sum_{k=0}^\infty k P(X\gt k) = E\left(\sum_{k=0}^\infty k I(X\gt k)\right) = E\sum_{k=0}^{\lfloor X\rfloor-1} k = E\frac{\lfloor X\rfloor (\lfloor X\rfloor-1)}{2} $$ de donde $$ EX^2\lt\infty \iff \sum_{k=0}^\infty k P(X\gt k)\lt\infty $$