Consideremos el polinomio $x^3+2x^2-5x+1$ con raíces $\alpha$ y $\alpha^2+2\alpha-4$ . Hallar la tercera raíz en términos de $\alpha$

Question

Consideremos el polinomio $x^3+2x^2-5x+1$ con raíces $\alpha$ y $\alpha^2+2\alpha-4$ . Hallar la tercera raíz $\beta$ en términos de $\alpha$

Tengo que $\alpha^3+2\alpha^2-5\alpha+1 = 0$ Así que $\alpha^3 = -2\alpha^2+5\alpha -1$ .

Y, $(\alpha^2+2\alpha-4)^3+2(\alpha^2+2\alpha-4)^2-5(\alpha^2+2\alpha-4)+1=0$ da $\alpha^6+6\alpha^5+2\alpha^4-13\alpha^2+54\alpha-11=0$

Además, $\alpha^6 = (-2\alpha^2+5\alpha -1)^2 = 4\alpha^4-20\alpha^3+29\alpha^2-10\alpha+1$

No sé cómo seguir adelante a partir de ahora. He intentado configurar $f(x)$ igual al producto de las raíces y expandiéndolo a un polinomio de 14 términos con $\alpha$ y $\beta$ coeficientes, pero eso parece improductivo.

Answer 1

Nota

$$\alpha (\alpha^2+2\alpha -4)\beta =-1$$

Así,

$$\beta =- \frac1{\alpha (\alpha^2+2\alpha -4)} =- \frac1{\alpha^3+2\alpha^2-4\alpha} =- \frac1{5\alpha -1 -4\alpha} =\frac1{1-\alpha} $$

Answer 2

Dado que por las fórmulas de Vieta la suma de las raíces es $-2$ no hay mucho que hacer aquí: dado que dos raíces son $\alpha$ y $\alpha^2+2\alpha-4$ la tercera tiene que ser $-\alpha^2-3\alpha+2$ .

La pregunta interesante, sin embargo, es: h raíces $\alpha,\beta$ cumpliendo $\beta=\alpha^2+2\alpha-4$ ?

Pues bien, el discriminante del polinomio es $361=19^2$ por lo que todas las raíces son reales y el grupo de Galois sobre $\mathbb{Q}$ no es $S_3$ sino algo más simple. Considerando la cúbica deprimida tenemos

$$ \frac{27}{38\sqrt{19}}\,\underbrace{p\left(\frac{2}{3}(x\sqrt{19}-1)\right)}_{q(x)}=4x^3-3x+\frac{7}{2\sqrt{19}} $$ por lo que por trigonometría tenemos que una raíz viene dada por $$ \zeta = -\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{19}\cos\Big(\underbrace{\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{-7}{2\sqrt{19}}\right)}_{\theta}\Big) $$ y las otras raíces vienen dadas por $$ -\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{19}\cos(\theta+2\pi/3)\qquad\text{and}\qquad -\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{19}\cos(\theta+4\pi/3) $$ es decir, por $$ -\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\sqrt{19}\cos(\theta)-\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{19}\sin(\theta)\qquad\text{and}\qquad -\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\sqrt{19}\cos(\theta)+\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{19}\sin(\theta) $$ que están claramente relacionados (entre sí y con $\zeta$ ) mediante el teorema de Pitágoras $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ .

Answer 3

He aquí otro punto de vista algo más sofisticado:

La otra raíz es $\beta= \gamma ^2+2\gamma-4$ donde $\gamma = \alpha^2+2\alpha-4$ . Ampliar $\beta$ en términos de $\alpha$ y reduciéndolo mod $\alpha^3+2\alpha^2-5\alpha+1$ da $\beta=-\alpha^2 - 3 \alpha + 2$ . Tenga en cuenta que $\beta=g(\gamma)=g(g(\alpha))$ donde $g(x)=x^2+2x-4$ .

(Esto se debe a que $\mathbb Q(\alpha)$ debe ser el campo de división de $x^3+2x^2-5x+1$ puesto que ya contiene dos raíces y, por tanto, debe contener la tercera. El grupo de Galois es cíclico de orden $3$ por lo que las raíces son $\alpha$ , $g(\alpha)$ , $g^2(\alpha)$ .)

Answer 4

Llamar a las raíces $\alpha, \alpha', \alpha''$ con $\alpha' = \alpha^2 + 2\alpha - 4$ .

$$p(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1 = (x - \alpha)(x - \alpha')(x - \alpha'') = q(x)(x - \alpha'')$$

con $$q(x) = x^2 + (-\alpha - 3 \alpha + 4) x + (\alpha^3 + 2 \alpha^2 - 4\alpha) = x^2 + (-\alpha - 3 \alpha + 4) x + (\alpha - 1)$$

(sustituyendo $\alpha^2$ con $-2\alpha + 4$ )

Ahora podemos calcular la división larga polinómica $p(x)/q(x)$ en $\mathbb Z(\alpha)$ para obtener $x - \alpha''$ :

$$p(x) - x q(x) = (\alpha^2 + 3 \alpha - 2) x^2 + (-\alpha - 4) x + 1$$

$$p(x) - x q(x) - (\alpha^2 + 3 \alpha - 2) q(x) = 0$$

así que $$p(x)/q(x) = x - (- \alpha^2 - 3 \alpha + 2).$$

Answer 5

Dadas tres raíces $\alpha, \beta, \gamma$ de un polinomio, generalmente se puede escribir como $$(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0$$

Observa cómo cada una de las raíces contribuye a que la igualdad funcione. Al expandir las llaves,

$$(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0$$

$$[(x^2-x(\beta)-x(\alpha)+(\alpha\beta)](x-\gamma)=0$$

$$(x^3-x^2(\gamma)-x^2(\beta)+x(\beta\gamma)-x^2(\alpha)+x(\alpha\gamma)+x(\alpha\beta)-(\alpha\beta\gamma)=0$$

$$x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma)x -(\alpha\beta\gamma)=0$$

Obsérvese que si cualquier ecuación dada se reduce de tal manera que el coeficiente de $x^3$ es $1$ entonces el coeficiente de $x^2$ da el negativo de la suma de raíces. Más precisamente, suma de raíces de la ecuación cúbica = $-$ (coeficiente de $x^2$ )/(coeficiente de $ x^3$ )

Espero que puedas tomar el relevo a partir de ahora. Como ya se ha señalado la suma de las raíces es $-2$

Bonificación: También se puede ver que el producto de las raíces de cualquier ecuación cúbica es igual al negativo del término constante dividido por el coeficiente de $x^3$ y la suma del producto de raíces tomadas de dos en dos es, bueno, (coeficiente de $x$ )/(coeficiente de $x^3$ )

Estas son condiciones suficientes en las raíces dadas para empezar.