Estimador bayesiano y cadenas de Markov

Question

Este es el Ejercicio 6.1.14 de las notas de Dembo encontradas aquí . En este momento, estamos empezando a hablar de las cadenas de Markov. No tengo experiencia previa con estimadores, así que estoy un poco perdido con este problema. El problema es el siguiente:

Sea $\theta$ y $(U_k)_k$ sean independientes y se distribuyan uniformemente en $(0,1)$ . Sea $X_k = sgn(\theta - U_k)$ y $S_n = \sum_{k=1}^n X_k$ .

(a) Calcule $\mathbb{P} [ X_{n+1} = 1 \mid X_1, \ldots, X_n]$

(b) Demuestre que $(S_n)_n$ es una cadena de Markov. ¿Es homogénea?

Tengo problemas con la parte (a) (supongo que la parte (b) no será tan difícil dada la parte (a), pero podría equivocarme).

Pensaba que tenía un intento semisensible de solución, pero al escribirlo aquí me he dado cuenta de que en realidad no tiene sentido. Así que estoy de vuelta en el punto de partida 1, y cualquier ayuda sería muy apreciada.

Gracias de antemano.

Answer 1

Pistas para (a):

• Con $\theta$ que tenga alguna distribución en $(0,1)$ y $U_{n+1}$ distribuidos uniformemente de forma independiente en $(0,1)$ , tienes $\mathbb{P}[X_{n+1}=1]=\mathbb{P}[U_{n+1} \lt \theta]=\mathbb{E}[\theta]$
• Puede encontrar la distribución posterior para $\theta$ de la forma habitual: la densidad a priori para $\theta$ multiplicada por la probabilidad de los datos observados, dividida por la integral sobre $\theta$ para dar una densidad de probabilidad ...
• ... y así se puede encontrar la expectativa posterior de $\theta$