¿Cuál es la suma de los diferentes puntos de $x$ -y que se cruzan con las dos curvas :
$$x^2=x+y+4 , y^2=y-15x+36$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Oli
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Como se ha dicho en los comentarios, fijamos $y=0$ . Para la curva $y^2=-15x+36$ obtenemos $x=36/15$ . Para la curva $x^2=x+y+4$ obtenemos $x^2-x-4=0$ .
Por el Teorema de las Raíces Racionales, las únicas raíces racionales concebibles de $x^2-x-4=0$ son números enteros que dividen $4$ . Ninguna de ellas es en realidad una raíz, pero eso es irrelevante, la cuestión es que $36/15$ no puede ser una raíz de $x^2-x-4=0$ .
Ahora seguimos necesitando la suma de las raíces (reales) de $x^2-x-4=0$ . Es fácil ver que, de hecho, hay dos raíces reales. Podríamos calcularlas, utilizando la fórmula cuadrática, y luego sumarlas. Pero en general la suma de las raíces de $x^2+ax+b=0$ es $-a$ . Por tanto, la suma de las raíces de $x^2-x-4=0$ es $1$ . Añada eso a $36/15$ .
Observación: Consideremos la ecuación polinómica $a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n=0$ donde $a_0\ne 0$ . Entonces la suma de todas las raíces de la ecuación en los números complejos es $-a_1/a_0$ . En esta fórmula, una raíz de multiplicidad mayor que $1$ cuenta tantas veces como se produzca. Por ejemplo, $x^2-6x+9=0$ como "raíz doble" en $x=3$ . La fórmula predice, correctamente, que la suma de las raíces es $-(-6)$ .
