Demostrar que $g$ es un submanifold: $g (t,u,v) = (t^2,u^2,v^2,\sqrt{2}uv, \sqrt{2}tv,\sqrt{2}tu)$

Question

Consideramos que $g : (t,u,v)\in \mathbb{R}^3 \mapsto (t^2,u^2,v^2,\sqrt{2}uv, \sqrt{2}tv,\sqrt{2}tu)\in\mathbb{R}^6$ . Tengo que demostrar que $g(\mathbb{S}^2)$ es un submanifold de $\mathbb{R}^6$ .

$dg_{(t,u,v)}=\begin{pmatrix}2t&0&0\\ 0&2u&0\\ 0&0&2v\\ 0&\sqrt{2}v&\sqrt{2}u\\ \sqrt{2}v&0&\sqrt{2}t\\ \sqrt{2}u&\sqrt{2}t&0\\ \end{pmatrix} $

Así que demuestra que $g$ es una inmersión (el rango es $3$ claramente) para $(\mathbb{R}^3-\{(0,0,0)\})$ .

Ahora bien, ¿cómo demostrar que $\mathbb{S}^2$ es homeomorfo a $g(\mathbb{S}^2)$ ? Debo probar que $g$ ¿es inyectiva?

Gracias de antemano.

Answer 1

De hecho, el mapa $g$ es $\bf not$ inyectiva, ya que $g(u,v,w)=g(-u,-v,-w)$ . Define un mapa desde el espacio proyectivo real $\bf RP^2$ a $\bf R^6$ .

$\bf RP^2$ se define como el cociente de la esfera por la involución $I(u,v,w)=-(u,v,w)$

Es fácil ver que $g(u,v,w)=g(u',v',w')$ si $(u,v,w)=(u',v',w')$ o $I(u,v,w)=(u',v',w')$ por lo que el mapa $g$ descienden a un mapa inyectivo $\bar g$ de $\bf RP^2$ a su imagen.

Entonces se puede decir que existe una estructura única de una superficie en $\bf RP^2$ tal que la proyección natural es diferenciable y un difeomorfismo local, por lo que de hecho $\bar g$ es una inmersión y un homemorfismo sobre su imagen por lo tanto un difeomorfismo