Valor esperado de una estrategia de ruleta.

Question

Llevo un tiempo haciéndome la siguiente pregunta. Consideremos la estrategia martingala para la ruleta, en la que se apuesta por un color, como el rojo. Si usted pone \$1 on red and win. You walk away, or bet another on \$ 1. Si pierdes, doblas tu apuesta y la pones en rojo. De esta forma, si ganas, recuperas tu inversión anterior, más el pago de 1 $ de la apuesta original. Si pierdes, doblas tu apuesta y vuelves a intentarlo. Obviamente, con una cantidad finita de dinero, esta estrategia acabará llevándote a la quiebra.

Consideremos ahora la estrategia aumentada, en la que después de un cierto número de pérdidas, aceptas la pérdida y en lugar de seguir doblando tu apuesta vuelves a empezar en \$1. For example, after 4 losses in a row, you would have \$ 15 Invertidos ;1+2+4+8. Ahora en vez de seguir doblando vuelves a empezar el sistema.

Así que la pregunta es si eres capaz de acertar 15 rojos antes de acertar 4 negros seguidos. Las rachas de negros inferiores a 4 están obviamente permitidas.

En la ruleta hay 38 resultados igualmente probables, 18 rojos, 18 negros y 2 verdes.

Answer 1

Cada apuesta es una propuesta perdedora. Ninguna suma de números negativos es positiva. La estrategia en su conjunto es perdedora.

Podemos calcular el valor esperado de una ejecución de la estrategia, que consiste en jugar hasta obtener un rojo o cuatro negros seguidos. En cada tirada se gana con probabilidad $\frac {18}{38}$ y pierden con probabilidad $\frac {20}{38}$ . Pierdes $4$ en una fila con probabilidad $\left(\frac{20}{38}\right)^4$ y perder $15$ en ese caso. En todos los demás casos usted gana $1$ . El valor esperado es entonces $$1\cdot\left(1-\left(\frac{20}{38}\right)^4\right)-15\left(\frac{20}{38}\right)^4=-\frac{29679}{130321}\approx -0.2277$$ Así que el valor esperado de cada prueba es de aproximadamente $-23\%$ de la apuesta inicial. En cada tirada tienes $1-\left(\frac{20}{38}\right)^4\approx 92.3\%$ de ganar, pero como las pérdidas son mucho mayores que las ganancias, el valor esperado es negativo. La probabilidad de ganar $15$ veces seguidas es $\left(1-\left(\frac{20}{38}\right)^4\right)^{15}\approx 0.302$

Answer 2

En cuanto a la pregunta en los comentarios de qué pasará primero, cuatro negros seguidos o $15$ rojos totales, podemos modelarlo como una cadena de Markov absorbente de estado finito. Hay $60$ estados no absorbentes de la forma, $(r,b),\,0\leq r<15,\, 0\leq b<4$ donde $r$ es el número total de rojos, y $b$ es el número actual de negros consecutivos.

import numpy as np

# non-absorbing state is (r, b), 0 <= r <= 14, 0 <= b <= 3
# numbered as 15*b + r
# r is total reds, b is current blacks
# state 60 is 4 straight blacks
#state 61 is 15 total reds

P = np.zeros((62, 62))
for r in range(15):
    for b in range(4):
        s = 15*b + r  # state (r, b)
        s1 = r+1 if r <14 else 61   # state(r+1, 0)
        s2 = 15*(b+1)+r if b < 3 else 60 # state(r,b+1)
        P[s,s] = 1/19   # roll green
        P[s,s1] = 9/19    # roll red
        P[s,s2] = 9/19   # roll black
P[60,60] = 1
P[61,61] = 1
Q = P
for n in range(100):
    Q=P@Q
start = np.zeros(62)
start[0] = 1
S = start@Q
print('4 straight blacks', S[60]) 
print('15 reds', S[61])
print('total', S[60]+S[61])

producido

4 straight blacks 0.6201875941847539
15 reds 0.3798124058152452
total 0.9999999999999991

así que si no me he equivocado, tú pierdes $62\%$ del tiempo con esta estrategia.

Answer 3

Empecemos con la pregunta tal y como la has formulado.

Cuando empiezas a jugar, puedes dividir los posibles resultados en dos eventos:

$Q.$ Rojo, posiblemente precedido de uno o varios verdes que, a su vez, podrían ir precedidos o intercalados con secuencias de uno a tres negros.

$R.$ Cuatro negros, posiblemente precedidos de uno o varios verdes que, a su vez, podrían ir precedidos o intercalados con secuencias de uno a tres negros.

Haz ejercicio $P(Q)$ (ya sea directamente o encontrando $P(R)$ y restándolo de $1$ ), y calcular la probabilidad de 15 ensayos Bernoulli consecutivos con éxito y probabilidad $P(Q).$

Sin embargo, esto me parece poco interesante, porque ignora todas las pérdidas que obtuviste cuando la bola cayó en una ranura verde.

Prefiero fijarme en estos dos acontecimientos:

$A.$ Rojo, posiblemente precedido de hasta tres no rojos.

$B.$ Cuatro no rojos seguidos.

Ahora $P(B)=\frac{10000}{130321} \approx 0.0767336$ y por lo tanto $P(A) =\frac{120321}{130321} \approx 0.9232664.$ Necesitamos $A$ ocurrir $15$ veces seguidas. La probabilidad de eso es $$ (P(A))^{15} =\left(\frac{120321}{130321} \right)^{15} \approx 0.301929 .$$ En otras palabras, es probable que sufra cuatro pérdidas consecutivas antes de acumular $15$ gana.

Dicho de otro modo, por cada $1/P(B)=13.0321$ ensayos de $A$ vs. $B,$ de media $B$ se producirá una vez. El resto del tiempo $A.$ Ya que ganas $1$ cuando $A$ se produce pero pierde $15$ cuando $B$ se produce, se trata de una estrategia perdedora (como cualquier otra estrategia que puedas idear).