Demostrar el área superficial de una esfera utilizando la fórmula del área superficial del sólido de revolución.

Question

Tengo que demostrar la superficie de una esfera con $r=1$ utilizando los sólidos de revolución en revolución sobre el $x$ y el $y$ eje.

Las fórmulas son fáciles. De arriba abajo, superficie de revolución alrededor de $x$ eje, y $y$ fórmulas de ejes:

$$S_x=\int_a^b2\pi y\,\sqrt{1+\Big(\frac{dy}{dx}\Big)^2}\,dx$$ $$S_y=\int_a^b2\pi x\,\sqrt{1+\Big(\frac{dx}{dy}\Big)^2}\,dy$$ Donde en la primera fórmula, $y$ es la función de $x$ en la segunda, $x$ es la función de $y$ y en ambos $a$ y $b$ es la sección de la función a rotar.

Con estas fórmulas, necesito demostrar, como ya he dicho, la superficie de una esfera de radio $1$ girando sobre ambos ejes. Pero para hacer eso, necesito tener alguna función que tenga un semicírculo perfecto en él que sea de dos unidades de largo/alto, de modo que tenga un diámetro de $2$ /radio de $1$ .

Es que no sé qué función tiene un semicírculo perfecto. Tal vez es una sección cónica, que se corta por la mitad de algún tipo, o no sé. ¿Alguien sabe qué funciones puedo utilizar que tengan estas propiedades para poder demostrar la superficie como me han dicho?

Answer 1

En una esfera, $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ Así que

$$z = \sqrt{1 - (x^2 + y^2)}$$ da una ecuación para los puntos del hemisferio superior; $$z = -\sqrt{1 - (x^2 + y^2)}$$ da puntos en el hemisferio inferior.

Pero para lo que quieres rotar, sólo necesitas un trazado en el plano xy, y para eso,

$$y = \pm \sqrt{1 - x^2}$$ o $$x = \pm \sqrt{1 - y^2}$$ servirá, al igual que el uso de otra fórmula, pero una que probablemente no haya visto,

$$x(t) = \cos t\\ y(t) = \sin t.$$