¿Es afín la transformación de perspectiva? Si lo es, ¿por qué es imposible perspectivar un cuadrado mediante una transformada afín, dada por una matriz y un vector de desplazamiento?

Question

Estoy un poco confuso. Quiero programar una transformación de perspectiva y pensaba que era afín, pero parece que no lo es. Como ejemplo, quiero perspectiva de un cuadrado en un cuadrilátero (como se muestra a continuación), pero parece imposible representar una transformación como una multiplicación de matrices + desplazamiento:

1) Lo que no puedo entender es que por definición la transformación afín es la que preserva todas las líneas rectas. ¿Puede proporcionar un ejemplo de línea recta, que no se conserva en este caso?

2) ¿Cómo puedo representar numéricamente transformaciones de perspectiva como ésta?

Gracias, señor.

Answer 1

No hay ninguna transformación afín que haga lo que quieres. Si dos líneas son paralelas antes de una transformación afín, entonces serán paralelas después. Empiezas con un cuadrado y quieres un trapecio. Esto no es posible. Lo mejor que puedes conseguir es un paralelogramo.

Tendrás que subir de nivel y estudiar las transformaciones proyectivas. Las transformaciones afines forman un subconjunto de las transformaciones proyectivas. Son las que fijan la recta en el infinito. (Se piensa que las rectas paralelas se cruzan en el infinito).

En coordenadas locales, una transformación proyectiva viene dada por: $$(x,y) \longmapsto \left(\frac{ax+by+c}{gx+hy+k},\frac{dx+ey+f}{gx+hy+k}\right) $$

Es posible encontrar todas las constantes sustituyendo y resolviendo. Obtengo:

$$T : (x,y) \longmapsto \left( \frac{12x+3y}{4y+16} , \frac{3y}{y+4} \right) . $$