Cómo demostrar una desigualdad con números positivos

Question

Sea $n\in\mathbb N$ y $a_{1},...,a_{n} >0$ tal que $a_{1} + \ldots +a_{n} =1$ . Demuestre que

$$ \left(\frac{1}{a_{1}^{2}} + \ldots +\frac{1}{a_{n}^{2}} \right)\left(2(a_{1}^{2}+\ldots+a_{n}^{2}) - \frac{1}{n}\right)\ge n^2. $$

He probado la inducción, pero no funciona.

Cualquier ayuda sería estupenda.

Answer 1

Sea $x=(1,...,1), y=(a_1,...,a_n), z=(\frac{1}{a_1},..., \frac{1}{a_n}) \in \mathbb R^n$

1. Por Cauchy Schwarz:

   $1=a_1+...+a_n=<x,y> \le ||x||*||y||$ Por lo tanto

   $$1 \le n(a_1^2+...+a_n^2).$$

2. De nuevo por Cauchy - Schwarz

$n=<y,z> \le ||y||*||z||$ Así pues

$$n^2 \le (\frac{1}{a_{1}^{2}} + \ldots +\frac{1}{a_{n}^{2}})(a_{1}^{2}+\ldots+a_{n}^{2}).$$

De 1. vemos:

$a_{1}^{2}+\ldots+a_{n}^{2} \le 2(a_{1}^{2}+\ldots+a_{n}^{2})-\frac{1}{n}$

y tenemos el resultado deseado.

Answer 2

Utilizando Cauchy-Schwarz, obtenemos $$ a_1^2+\cdots+a_n^2\ge \frac{1}{n}(a_1+\cdots+a_n)=\frac{1}{n}, $$ y por lo tanto $$ 2(a_1^2+\cdots+a_n^2)-\frac{1}{n}\ge a_1^2+\cdots+a_n^2. $$ A continuación, Cauchy-Schwarz de nuevo $$ (a_1^2+\cdots+a_n^2)\left(\frac{1}{a_1^2}+\cdots+\frac{1}{a_n^2}\right)\ge (1+\cdots+1)^2=n^2, $$ y por lo tanto $$ \big(2(a_1^2+\cdots+a_n^2)-\frac{1}{n}\big)\left(\frac{1}{a_1^2}+\cdots+\frac{1}{a_n^2}\right) \ge (a_1^2+\cdots+a_n^2)\left(\frac{1}{a_1^2}+\cdots+\frac{1}{a_n^2}\right)\ \ge n^2. $$