Cuál es el adjunto hermitiano del operador $\hat{K}\psi = \psi^*$ ?

Question

Para muchos operadores, su adjunto puede expresarse en función de otros operadores conocidos, por ejemplo $$\hat{T}_a^\dagger = \hat{T}_{-a} \\ \hat{p}_x^\dagger = \hat{p}_x$$ donde $\hat{T}_a \psi (x) = \psi (x+a)$ y $\hat{p}_x \psi(x)= -ih \frac{\partial \psi(x)}{\partial x}$ .

Pero si consideramos el operador $\hat{K}\psi (x) = \psi^* (x)$ (aquí $^*$ denota conjugado complejo) entonces, a partir de la definición,

$$ \langle \phi |\hat{K}^\dagger |\psi \rangle = \langle \psi |\hat{K} |\phi \rangle^* = \langle \psi |\phi^* \rangle^* = \langle \psi^* |\phi \rangle $$

¿Puede expresarse como $\langle \phi |\hat{A}|\psi \rangle$ para algún operador $\hat{A}$ ? En caso negativo, ¿por qué?

Además, ¿qué implica este resultado? Por ejemplo, ¿es $\hat{K}$ ¿Hermitiano?

$$ \langle \phi |\hat{K}^\dagger |\psi \rangle = \langle \phi |\hat{K} |\psi \rangle \\ \therefore \langle \psi^* |\phi \rangle = \langle \phi |\psi^* \rangle$$

Entonces, ¿es hermitiana sólo para determinadas funciones de onda?

Answer 1

El operador $K$ en el espacio de Hilbert $H$ es antilineal y satisface $$(\eta,K^*\psi)=\overline{(\eta,K\psi)},\qquad\forall \eta,\psi\in H,$$ que no es lo que cabría esperar de la autoadhesión.

Se puede considerar el espacio de Hilbert conjugado $\overline H$ y girar $T$ en un mapa lineal considerándolo como $T:H\to\overline H$ . Si luego toma $$(\eta,\psi)_{\overline H}:=\overline{(\eta,\psi)}_H$$ como producto interior en $\overline H$ la identidad anterior se convierte en $$(\eta,K^*\psi)_{\overline H}=(\eta,K\psi)_H,\qquad\forall \eta,\psi\in H,$$ pero como el operador está ahora entre dos espacios de Hilbert "diferentes", esto no implica que $K$ es autoadjunto.

Answer 2

$\hat{K} \Psi = \Psi^*$ no es en absoluto un operador bien definido. Por un lado, está claro que $\hat{K^2} = 1$ y $\hat{K}$ es, por tanto, real. Por otro lado, según su definición $$ <\Psi| K |\Psi> = \int \Psi^{*2} d^3r \not\in \mathbb{R} $$ Está mal definida porque no traza un mapa desde el espacio de los kets al espacio de los kets, sino desde el espacio de Ket al espacio de Bra.