Verificación de pruebas: Utilizando series de Taylor para llegar a una cierta desigualdad

Question

Si $x>0$ demostrar que $|(1+x)^{1/3} - (1 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{9}x^2)| \le \frac{5}{81}x^3$ .

Prueba:

Sea $f(x) = (1 +x)^{1/3}$

Entonces, estimando $f(x)$ en el punto $x_o = 0$ Tenemos eso:

$f'(x) = 1/3(1+x)^{-2/3}, f"(x) = -2/9(1+x)^{-5/3}, f^{(3)}(x)= 10/27 (1+x)^{-8/3}$

Entonces,

$P_{3} = 1 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{9}x^2 + \frac{5}{81}x^3$

Y lo tenemos:

$R_3 = \frac{-10}{243} (1+c)^{-11/3}x^4 <0$ para $c \in (0,x)$

Entonces esto implica que:

$(1+x)^{1/3} < 1+ \frac{1}{3}x -\frac{1}{9}x^2 +\frac{5}{81}x^3$

$\implies (1+x)^{1/3}- (1+ \frac{1}{3}x -\frac{1}{9}x^2 ) <\frac{5}{81}x^3$

No entiendo cómo transformar la expresión anterior en la que debemos mostrar. ¿Alguien puede explicar por qué debería ser $\le$ en lugar de $<$ . Además, ¿cómo y por qué necesitamos los signos absolutos?

Por favor, ayuda. Muchas gracias.

Answer 1

Tienes $(1+x)^{1/3}- (1+ \frac{1}{3}x -\frac{1}{9}x^2 ) <\frac{5}{81}x^3$ pero el valor del lado izquierdo podría ser un número negativo muy grande, por lo que en realidad tienen que demostrar que el valor absoluto es menor que $\frac{5}{81} x^3$ .

Trabajar con $P_3, R_3$ es "demasiado". Sugiero conseguir $P_2,R_2$ . Haciendo esto conseguirás $\leq$ en lugar de $<$ . No dude en preguntarme si no lo entiende.