Este tipo de diagramas se utilizan para construir modelos constitutivos complejos a partir de elementos simples, de forma muy análoga a los circuitos eléctricos construidos a partir de resistencias y condensadores. Los elementos paralelos tienen la misma deformación, y sus tensiones se suman; para los elementos en serie, es al revés. (En realidad, existe una equivalencia exacta si se intercambian tensión/voltaje, tasa de deformación/corriente, muelle/condensador, amortiguador/resistencia y colocación en paralelo/serie).
Así, por ejemplo, la combinación en línea de muelle y amortiguador (el tramo inferior de su segundo diagrama) tiene un muelle con relación ( $\sigma_{E_2}=E\epsilon_{E_2}$ ) y un amortiguador ( $\sigma_\eta=\eta\dot\epsilon_\eta$ ). Como están en línea, tienen la misma tensión ( $\sigma_{E_2}=\sigma_\eta=\sigma_\text{bottom}$ ), y las deformaciones se suman, $\epsilon_{E_2}+\epsilon_\eta=\epsilon_\text{bottom}$ . Tomando la derivada temporal de la última ecuación e insertando las dos anteriores, se obtiene $$\dot\epsilon_\text{bottom}=\dot\epsilon_{E_2}+\dot\epsilon_\eta=\frac{1}{E_2}\dot\sigma_\text{bottom} + \frac{1}{\eta}\sigma_\text{bottom}\,,\tag{*}$$ y voilá, tienes una ecuación completa para la combinación muelle-vaso en línea. (Compáralo con el caso paralelo (tu primera ecuación), donde tienes $\epsilon$ y $\dot\epsilon$ pero sólo $\sigma$ .)
Ahora, el modelo completo de tres elementos: Se trata de una combinación paralela de las partes superior e inferior, por lo que $\epsilon_\text{top}=\epsilon_\text{bottom}=\epsilon$ y $\sigma_\text{top}+\sigma_\text{bottom}=\sigma$ . Para la mitad inferior, acabamos de derivar la relación $(*)$ para la parte superior, tenemos $\sigma_\text{top}=E_1\epsilon$ .
Ahora, sólo tenemos que eliminar $\sigma_\text{top/bottom}$ a favor de $\sigma$ . Pero eso es sencillo: En $(*)$ , exprés $\sigma_\text{bottom}=\sigma-\sigma_\text{top}$ y utilice $\sigma_\text{top}=E_1\epsilon$ . Después de algunos reordenamientos, se obtiene $$\left(\frac{E_1+E_2}{E_2}\right)\dot\epsilon +\frac{E_1}{\eta}\epsilon= \frac{1}{E_2}\dot\sigma + \frac{1}{\eta}\sigma\,,\tag{**}$$ que es equivalente a tu expresión.
Con el mismo procedimiento general, se pueden derivar expresiones para otras combinaciones. Por supuesto, hasta ahora todo es lineal. Esto implica que si tienes dos soluciones para $\sigma$ y $\epsilon$ puede añadirlos y obtener una nueva solución. Ten en cuenta que la expresión de @Chemomechanics en los comentarios anteriores no es linera, por lo que no puede ser corretc para este tipo de circuito. (La expresión da la tensión en función de la deformación, $\sigma=\sigma(\epsilon)$ pero una suma de deformaciones no da la suma de tensiones, $\sigma(\epsilon_1+\epsilon_2)\neq\sigma(\epsilon_1)+\sigma(\epsilon_2)$ .)
En general, para circuitos con dashpots, no puedes deshacerte de las derivadas temporales porque la historia es importante, así que tienes que especificar la historia de stess o strain y luego resolver para la otra.
Hay más elementos posibles, como
- un elemento deslizante (St. Venant), que corresponde a una deformación plástica ideal (ausencia de movimiento para tensiones inferiores a un umbral, movimiento arbitrario en el umbral o
- una masa, que quiere seguir moviéndose (dual al inductor en la dualidad mecánica/eléctrica), que a menudo se descuida para la mecánica del continuo cuando se trata de procesos lentos.
Por otro lado, se podrían añadir generalizaciones no lineales, es decir, dashpots con una relación más complicada de velocidad de deformación y tensión, para describir mejor los materiales reales.
Como nota final para responder a la parte de la pregunta añadida recientemente: La relación constitutiva $(**)$ se utiliza junto con la ecuación de movimiento (EOM), que en el "artículo de apoyo" es la Ec. (2). La EOM contiene $\sigma$ y una derivada espacial $\sigma{,x}$ junto con los términos relativos al desplazamiento $w$ y varias derivadas, en este caso hasta el segundo orden en el espacio y el tiempo, $$ (\text{stuff})\cdot\sigma+ (\text{more stuff})\cdot\sigma_{,x}= (\text{stuff with $ w $ and derivatives up to second order}) \tag{#}$$
Para intentar combinar el MOE y la Ec. $(**)$ se puede reescribir la Ec. $(**)$ como $$\underbrace{\left[\left(\frac{E_1+E_2}{E_2}\right)\frac{\text d}{\text d t} +\frac{E_1}{\eta}\right]}_{\displaystyle \Xi}\epsilon= \underbrace{\left[\frac{1}{E_2}\frac{\text d}{\text d t} + \frac{1}{\eta}\right]}_{\displaystyle \Gamma}\sigma\,.\tag{##}$$ Esto no es más que reescribir las derivadas con operadores y reordenar los términos en dos operadores más grandes. Ahora puedes aplicar el operador $\gamma$ a la Ec. $(\#)$ es decir, multiplicar ambos lados por $1/\eta$ y añadir las derivadas temporales $(E_1+E_2)/E_2$ . Entonces tendrá un plazo $\Gamma \sigma$ es decir, el lado derecho de la Ec. $(\#\#)$ que se puede convertir en una expresión en términos de $\epsilon$ . Ahora mismo no me queda claro cómo no acabarías con unos términos en los que los derivados actúan en los términos que he calles $(\text{stuff})$ en la Ec. $(\#)$ Los autores parecen haber encontrado algunas combinaciones en las que interviene la velocidad. $c$ . En cualquier caso, tiene sentido que la Ec. (14) del documento contenga ahora derivadas hasta el cuarto orden.
