¿Puede una función de valor real, definida para cada número real, tener puntos de continuidad finitos (o contables)?
En cuanto al caso no contable, la respuesta es trivial: cualquier polinomio tiene puntos de continuidad no contables.
Podemos ver el problema opuesto: los puntos de discontinuidad.
La función de Dirichlet tiene puntos de discontinuidad no contables. Las funciones con puntos de discontinuidad finitos o contables son ejemplos triviales.
Un ejemplo concreto $g(x)$ sea la función característica de los racionales, y sea $f(x)=xg(x)$ . Entonces básicamente el gráfico de $f$ parece una gran "V" punteada (la parte correspondiente a los racionales) con una línea punteada que pasa por debajo (la parte correspondiente a los irracionales), y éstas se encuentran en el origen. Motivado por esto, es fácil comprobar que $f$ es continua exactamente en el origen.
Con argumentos similares se obtienen funciones cuyos puntos de continuidad son un conjunto finito arbitrario.
¿Y si seguimos adelante? Bien, copiando lo anterior $f$ - restringido a $[-1, 1]$ - una y otra vez, obtenemos una función que es continua en un número contable de puntos. Pero, ¿qué tipo de restricciones existen? Sea $C(h)$ sea el conjunto de puntos en los que $h$ es continua, y sea $\mathcal{C}=\{C(h): h:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\}$ sea el conjunto de todos los posibles conjuntos de continuidad. ¿Es todo conjunto contable en $\mathcal{C}$ ? Este es un ejercicio divertido . . .
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