Ejemplos "dibujables" de paquetes vectoriales

Question

Estoy buscando ejemplos de paquetes vectoriales que se puede dibujar fácilmente o "ilustrar" en una pizarra para una charla que voy a dar. Conozco un par de ejemplos sencillos que podría utilizar:

• Cuando nuestro espacio base es $\mathbb{S}^1$ y asignamos a cada uno $p \in \mathbb{S}^1$ una copia de $\mathbb{R}$ y hacer un Cilindro (trivial) o un Haz de Möbius.
• También podemos considerar un haz trivial $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{R}^2$ como en este puesto.

¿Cuáles son otros buenos ejemplos de haces vectoriales (no triviales?) que se puedan explicar/dibujar fácilmente? ¿Hay también alguna superficie en la que el haz tangente se utilice para algo interesante? Aunque entiendo lo que haces vectoriales/tangentes son, todavía no veo la motivación para estudiarlos. Si tiene algún ejemplo de haces de fibras que se pueda explicar de forma sencilla, también se agradecería.

Para proporcionar más contexto, soy un estudiante que da una charla a los estudiantes de un curso de geometría diferencial que se centra en las superficies lisas. Se trata de una charla de poca monta. Prefiero que el público se vaya con un sentido intuitivo de lo que es una haz de vectores es (una imagen en su cabeza) en lugar de limitarse a conocer la definición. Paquetes vectoriales no son exactamente parte de lo que hemos estado hablando en el curso, aunque hemos tocado ideas relacionadas con haces tangentes .

Answer 1

1. En el haz de vectores Después de hablar del cilindro y del haz de Möbius y de pasar a los haces tangentes, se pueden explorar los haces tangentes en $S^2$ y $T^2$ mirando los campos vectoriales en ellos.

El haz tangente de $T^2$ es trivial porque hay dos secciones no evanescentes linealmente independientes (que forman una base en cada punto) dadas por un campo vectorial que apunta en una dirección alrededor del toro y un campo vectorial que apunta en la otra.

El haz tangente de $S^2$ por el contrario, no tiene secciones no evanescentes, y mucho menos dos linealmente independientes (este es el teorema de la bola peluda), por lo que el haz tangente de $S^2$ no es trivial.

2. En el haz de fibras lado, los haces sobre el círculo son agradables de visualizar. Se puede ver mucho de la parte de los haces sin que la imagen se vuelva difícil de visualizar.

Un haz de círculos se puede trivializar en todos los puntos menos en uno, por lo que toda la acción se puede ver en cómo se "pega" el haz en ese único punto.

El cilindro y el haz de Möbius son $\mathbb{R}$ sobre el círculo, donde el haz de Möbius está pegado por el mapa $x \mapsto -x$ (y el cilindro está pegado por la identidad).

El toro y la botella de Klein son haces de círculos sobre el círculo, donde el toro está pegado por la identidad y la botella de Klein está pegada por un mapa $S^1 \rightarrow S^1$ que "va hacia atrás", por ejemplo $\theta \mapsto -\theta$ (o alternativamente, dada por una reflexión en $\mathbb{R}^2$ restringido a $S^1$ ).

3. Si eres extremadamente ambicioso, podrías dibujar haces vectoriales bidimensionales sobre $S^2$ y discutir cómo se pueden trivializar sobre el hemisferio superior y sobre el hemisferio inferior. A continuación, el haz se determina por la forma de pegarlas sobre el ecuador. Si tu clase ha hecho ejemplos con atlas para $S^2$ , se podría entonces averiguar qué es este encolado en el caso de $TS^2$ .

Answer 2

Dejemos que $M$ sea una variedad riemanniana. El paquete normal de un submanifold $S \subset M$ es el haz vectorial $(S, NS)$ donde $N_pS$ se compone de los elementos de $T_pM$ que son ortogonales a $T_p S$ . Por ejemplo, si $M = \mathbb{R}^m$ y $S = S^{m-1} \subset M$ entonces el haz normal está formado por las líneas en las direcciones radiales en cada $p\in S^{m-1}$ . Para las superficies, el haz normal es bastante fácil de dibujar.

Para motivar los haces vectoriales a una audiencia de estudiantes, sugiero comenzar con la idea de un campo vectorial tangente. En un espacio euclidiano o en una superficie, ideas como los campos vectoriales tangentes y los campos vectoriales normales son bastante intuitivos de definir, y son eminentemente aplicables a una variedad de situaciones (describiendo el flujo de algún proceso suave, por ejemplo). Pero la definición habitual de un campo vectorial en una superficie depende de la forma en que la superficie se inserta en el espacio euclidiano. Las variedades suaves generalmente no se presentan como incrustadas en algún tipo de espacio ambiente; para generalizar la noción de campo vectorial tangente se requiere tener una forma de definir una colección de vectores tangentes que varíe suavemente sobre la variedad sin referirse a ningún espacio ambiente o coordenadas. El haz tangente es precisamente lo que permite hacer esto. (Si necesitas investigar esto con más detalle, la palabra clave es sección de un haz de fibras. )

Una vez que se tiene la noción de un haz vectorial se pueden hacer varias cosas además de definir campos vectoriales. Por ejemplo, con una matriz riemanniana se puede definir la longitud de una curva, y entonces se entra en ideas útiles como las geodésicas. Con el haz tangente se puede discutir la orientabilidad de una variedad (si se conoce algo de teoría de la homología, se puede hacer esto con un haz de fibras). Si las fibras de tu haz de fibras tienen alguna estructura extraordinaria, puedes pensar en actuar sobre las fibras; por ejemplo, en un $S^1$ -bundle se puede pensar en lo que significa aplicar un $S^1$ -rotación a cada punto del colector. La idea es que las variedades interesantes suelen tener más estructura que la mínima que implica la definición de variedad, y los haces de fibras son estructuras que contienen este tipo de información sin coordenadas.

Answer 3

El haz de fibras de Hopf, ciertamente se puede explicar fácilmente; la mejor explicación que conozco es https://www.youtube.com/watch?v=QXDQsmL-8Us