La naturaleza de las variables en las pruebas

Question

No sé cuál es la mejor manera de considerar ciertos tipos de variables que aparecen en el curso de una demostración elemental. Por ejemplo, para demostrar que el cuadrado de cada entero impar es impar, escribiría:

Sea $m \in \mathbf{Z}$ ser arbitraria. Supongamos que $m$ es impar. Elija $k \in \mathbf{Z}$ tal que $m = 2k + 1$ . Entonces $m^2 = (2k + 1)^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ por lo que $2k^2 + 2k \in \mathbf{Z}$ se deduce que $m^2$ es impar.

El símbolo $m$ se introduce como parte de la técnica de generalización universal; Velleman [1] describe este paso como "introducir una nueva variable [ $m$ ... para representar un objeto arbitrario". El símbolo $k$ se introduce como parte de la técnica de instanciación existencial; [1] describe esto como "introducir una nueva variable [ $k$ para representar un objeto para el que [el predicado $m = 2k + 1$ ] es cierto".

¿En qué sentido $m$ y $k$ ¿Variables? No parecen ser variables ligadas, ya que no están en el ámbito de ningún cuantificador. Tampoco pueden ser variables libres, porque si lo fueran, entonces, por ejemplo, la frase que se demuestra verdadera tras la introducción de un entero arbitrario $m$ -- a saber, que si $m$ es impar entonces $m^2$ es impar -- sería un predicado y ni siquiera tendría un valor de verdad; obviamente tampoco soy libre de sustituir valores en $m$ y $k$ aunque sólo sea por $m$ y $k$ son dependientes.

Stoll [2] dice que una variable es libre si no está ligada, por lo que no existe una tercera opción.

¿Es más correcto pensar en las frases "que $m \in \mathbf{Z}$ ser arbitrario" y "elegir $k \in \mathbf{Z}$ tal que ..." como introducción de nuevos constantes en lugar de variables, ya que sus valores son fijos a pesar de no estar especificados ( $m$ ) o desconocido ( $k$ )? En términos más generales, la idea de un símbolo que representa un elemento particular pero arbitrario de algún conjunto parece incompatible con la descripción típica de una variable como marcador de posición, como se ve, por ejemplo, en Epp [3].

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[1] Velleman, D. (2006). Cómo demostrarlo: A Structured Approach (2ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press.

[2] Stoll, Robert Roth (1963). Teoría de conjuntos y lógica. W.H. Freeman.

[3] Epp, Susanna S. Variables en educación matemática. https://condor.depaul.edu/~sepp/VariablesEnMatemáticas.pdf

Answer 1

¿En qué sentido $m$ y $k$ ¿Variables? No parecen ser variables ligadas, ya que no están en el ámbito de ningún cuantificador.

En realidad cada vez que dices algo como "vamos $m \in \mathbb{Z}$ ser arbitrario" la palabra "arbitrario" es un código para un cuantificador universal implícito $\forall m \in \mathbb{Z}$ en este caso parte de la declaración

$$\forall m \in \mathbb{Z} : \left( \exists k \in \mathbb{Z} : 2k+1 = m \right) \Rightarrow \left( \exists k' \in \mathbb{Z} : 2k'+1 = m^2 \right)$$

que estás intentando demostrar. Así que es una variable ligada, ligada a un cuantificador que se está dejando implícito. Se trata de una convención muy común en matemáticas que no suele describirse explícitamente. Entonces apelamos a un principio general sobre cómo demostrar un resultado que implica un cuantificador universal, que supongo que se llama generalización universal para demostrar $\forall m, P(m)$ introduces $m$ como una variable arbitraria y escriba una demostración en la que no asuma nada sobre $m$ salvo las premisas que pueda haber en la declaración $P(m)$ y ver si puedes deducir la conclusión deseada.

Answer 2

Durante una prueba, hay dos cosas presentes en cualquier momento:

• la(s) cosa(s) que desea probar en este momento (que llamaré el meta (s) )
• y las cosas que está asumiendo en este momento, las cosas que puede utilizar para continuar en su prueba (a las que se refiere como el contexto ).

Repasemos la prueba que quieres hacer, teniendo en cuenta tanto el contexto a la izquierda como el objetivo a la derecha. Al principio tenemos $$ \text{Context: }\textit{empty} \hspace{2cm} \text{Goal:} ~~\forall m \, (m \text{ is odd } \Rightarrow m^2 \text{ is odd}) $$ Así que nuestro objetivo es algo del tipo $\forall x \, \varphi(x)$ . ¿Cómo mostrar esto en general?

Podemos concluir $\forall x \, \varphi(x)$ del contexto $\Gamma$ si podemos demostrar $\varphi(y)$ para una variable $y$ que no aparece como variable libre ni en el contexto $\Gamma$ o $\varphi(x)$ .

En nuestro caso $y$ satisfaría realmente esto y así obtenemos un nuevo objetivo $$ \text{Context: }\textit{empty} \hspace{2cm} \text{Goal:}~~~ y \text{ is odd } \Rightarrow y^2 \text{ is odd} $$ ¿Por qué está bien simplemente deshacerse de la cuantificación y sustituirla por $m$ con $y$ ? Bueno, nosotros no se deshizo simplemente de la cuantificación. Tuvimos que asegúrese de que $y$ no es gratis ¡en el contexto y el lado derecho! Esta condición asegura que el contexto no puede tener ninguna información sobre la variable $y$ para nosotros. Así que no estamos asumiendo nada sobre $y$ no sabemos nada al respecto y por lo tanto $y$ puede considerarse realmente cualquier cosa/general. Y así, si mostramos el lado derecho para una variable que podemos considerar general, el argumento es que hemos mostrado $\forall m [\dots]$ .

Ahora continuemos con la prueba. Para demostrar la implicación se asume lo que está a la izquierda y se intenta demostrar lo que está a la derecha. $$ \text{Context: } y \text{ is odd } \hspace{2.5cm} \text{Goal:}~ y^2 \text{ is odd} $$ Para continuar tenemos que escribir la definición de impar $$ \text{Context: } ~~ \exists k \, (y = 2k + 1) \hspace{2.5cm} \text{Goal:}~ \exists k \, (y^2 = 2k + 1) $$ En este punto puedes aplicar la instanciación existencial a la sentencia $\exists k \, (y = 2k + 1)$ en su contexto. Lo que sucede aquí es que se le permite reemplazar $\exists k \, (y = 2k + 1)$ por $(y = 2z + 1)$ para cualquier variable $z$ que no parece libre en su contexto y objetivo. Al igual que antes, esto ahora se asegura de que lo único que sabe acerca de $z$ es que satisface $y = 2z + 1$ . Así obtenemos $$ \text{Context: } ~~ y = 2z + 1 \hspace{2.5cm} \text{Goal:}~ \exists k \, (y^2 = 2k + 1) $$

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Esta explicación es básicamente una verbalización de algunas de las reglas para deducción natural que es una manera formal de describir las pruebas. Así que si aún no lo has hecho y realmente quieres aprender más sobre las pruebas en detalle, este sería un tema en el que entrar; aunque es una inmersión profunda.

Answer 3

$m$ es una variable en el sentido de que su valor no es fijo, sino que se debe a la relación entre $m$ y $k$ una vez fijado uno de ellos se determina el valor del otro (y $m$ debe ser impar). No estás demostrando la afirmación para constantes particulares, sino para constantes arbitrarias, es decir, variables.

Answer 4

Generalización universal: "para todos los impar $m \in \Bbb{Z}$ ".

instanciación existencial: "existe un $k \in \Bbb{Z}$ tal que $m = 2k+1$ ".

Ambos están cuantificados y se cuantifican en la forma de recitar.

Es más exacto pensar en las variables como variables. Un enunciado con una variable cuantificada universalmente puede especializarse, eliminando el cuantificador universal, sustituyendo las apariciones de la variable por un miembro concreto del conjunto del que se extrae esa variable. Por ejemplo, en su prueba, un conjunto igualmente válido de declaraciones se produce mediante la sustitución de cada instancia de $m$ por " $3$ "(un número entero impar). Las variables cuantificadas existencialmente pueden especializarse al valor que satisfaga sus restricciones.

En $m$ es genérico (libre de abarcar los enteros impar), $k$ debe ser genérico, ya que el valor de $k$ depende del valor de $m$ . (En un entorno más pedante, la dependencia de $k$ en $m$ se haría más evidente escribiendo, por ejemplo $k(m)$ , $k_m$ o cualquier otra sintaxis que indique dependencia. Esta dependencia impone un orden a los cuantificadores. Equivalentemente, el orden de los cuantificadores, $\forall m \text{ odd}, \exists k \in \Bbb{Z} \dots$ .) Aunque $k$ es genérico, en este caso, podemos resolver para $k$ en términos de $m$ : $k = \frac{m-1}{2}$ . En consecuencia, en todo momento, podemos especializar la variable $k$ al valor $\frac{m-1}{2}$ .

En $m$ está especializado en un valor, podemos sustituir $k$ con el valor que sea la mitad de uno menos que el valor de $m$ . Seguimos teniendo un conjunto válido de enunciados -- este conjunto válido de enunciados es la prueba explícita de la imparidad del cuadrado de cualquier valor $m$ ha tomado. Esto último debería dejarlo claro: $m$ y $k$ son variables. Para cada especialización de $m$ y $k$ a valores (válidos), obtenemos una prueba concreta. Si no especializamos, obtenemos una prueba cuantificada universalmente sobre $m$ y existencialmente cuantificado sobre $k$ (que depende de $m$ ).

Answer 5

Tú dirás: "Tampoco pueden ser variables libres, porque si lo fueran, entonces, por ejemplo, la frase que se demuestra cierta tras la introducción de un número entero arbitrario $m$ -- a saber, que si $m$ es impar entonces $m^2$ es impar -- sería un predicado y ni siquiera tendría valor de verdad". Yo diría esto un poco diferente. Un predicado no tiene valor de verdad hasta que se asignan valores a las variables libres. Pero si asignas valores a las variables libres, entonces un predicado tiene un valor de verdad.

Ahora, permítanme sugerir una versión ligeramente diferente de la respuesta de Nemo. Me gusta la idea de distinguir entre contexto y objetivo, pero yo diría que el contexto consiste en dos cosas: una especificación de qué variables se supone que tienen valores asignados y una especificación de qué afirmaciones se supone que son verdaderas (en mi libro se llaman "dados"). Con esta versión modificada de la idea de contexto de Nemo, permíteme repasar la prueba. Empezamos con:

• Contexto: vacío; es decir, no se supone que ninguna variable tenga valores ni que ningún dato sea verdadero.
• Objetivo: $\forall m(m \text{ is odd} \Rightarrow m^2 \text{ is odd})$

Cuando se escribe "Que $m \in \mathbb{Z}$ ser arbitrario", cambias la situación a:

• Contexto: variables: $m$ ; dados: ninguno
• Objetivo: $m \text{ is odd} \Rightarrow m^2 \text{ is odd}$

Así que ahora estás asumiendo que $m$ representa algo (por lo que el objetivo, que contiene $m$ como variable libre, tiene un valor de verdad), pero no está haciendo ninguna suposición sobre lo que $m$ por lo que podría ser cualquier cosa. Ahora usted asume $m$ es impar:

• Contexto: variables: $m$ dados: $m$ es impar
• Objetivo: $m^2$ es impar

Escribiendo la definición de "impar", esto significa:

• Contexto: variables: $m$ dados: $\exists k \in \mathbb{Z}(m = 2k+1)$
• Objetivo: $\exists j \in \mathbb{Z}(m^2 = 2j+1)$

Ahora que lo dado es un enunciado existencial, podemos introducir la variable $k$ para representar un número entero tal que $m = 2k+1$ :

• Contexto: variables: $m$ , $k$ dados: $m = 2k+1$
• Objetivo: $\exists j \in \mathbb{Z}(m^2 = 2j+1)$

Ahora $m$ y $k$ se supone que tienen valores asignados, y la declaración $m = 2k+1$ se supone que es verdadera con esos valores asignados. Ahora es sólo álgebra simple para llegar al valor de $j$ que demuestre que el objetivo es cierto.