muestreo sin sustitución en una urna con parámetros desconocidos

Question

Tengo una urna que contiene $N$ bolas, de las cuales $n$ ~ Uniforme(1, ..., $N$ ) son blancos y el resto negros. Tras el muestreo $i$ bolas sin reemplazar (de las cuales $m$ son blancas), ¿cómo puedo hallar la distribución condicional sobre el color de la siguiente bola, p( $x_{i+1}$ | $m$ )?

He estado leyendo sobre las distribuciones hipergeométrica y beta-binomial, pero no he sido capaz de encontrar una respuesta. Gracias.

Answer 1

Definir los acontecimientos $A=\{x_{i+1}=\text{white}\}$ , $B=\{\text{in $ i $ firstly sampled balls $ m $ are white}\}$ . Por definición de probabilidad condicional, $$ p(x_{i+1}\mid m)=\mathbb P(A\mid B) = \frac{\mathbb P(A\cap B)}{\mathbb P(B)} $$ Hallar numerador y denominador por Ley de probabilidad total. $$ \mathbb P(B) = \sum_{n=1}^N p(n)\mathbb P(B\mid \text{$ n $ white balls in urn})=\sum_{n=m}^N \frac1N \frac{\binom{n}{m}\binom{N-n}{i-m}}{\binom{N}{i}} $$ Se supone que los coeficientes binomiales desaparecen si el subíndice supera el índice superior. Así que podemos reescribir esta suma en una forma más conveniente $$ \mathbb P(B) =\frac1N \frac{1}{{\binom{N}{i}}} \sum_{n=0}^N \binom{n}{m}\binom{N-n}{i-m} = \frac1N \frac{\binom{N+1}{i+1}}{{\binom{N}{i}}}. \tag{1}\label{1} $$ En la última igualdad aplicamos la ecuación (8) de esta página wiki .

De manera similar, $$ \mathbb P(A\cap B) = \sum_{n=1}^N p(n)\,\mathbb P(B\mid n)\,\mathbb P(A\mid B \cap \{n \text{ white balls\}}) $$ $$=\sum_{n=m+1}^N \frac1N \frac{\binom{n}{m}\binom{N-n}{i-m}}{\binom{N}{i}}\,\frac{n-m}{N-i}. $$ Vuelva a escribir $$ \binom{n}{m}\frac{n-m}{N-i} = \frac{m+1}{N-i} \binom{n}{m+1} $$ (¡comprueba simplemente la identidad!). A continuación,
$$ \mathbb P(A\cap B) = \frac1N \frac{m+1}{N-i} \frac{1}{\binom{N}{i}} \sum_{n=m+1}^N {\binom{n}{m+1}\binom{N-n}{i-m}} $$ $$=\frac1N \frac{m+1}{N-i} \frac{1}{\binom{N}{i}} \sum_{n=0}^N {\binom{n}{m+1}\binom{N-n}{(i+1)-(m+1)}} = \frac1N \frac{m+1}{N-i} \frac{\binom{N+1}{i+2}}{\binom{N}{i}} \tag{2}\label{2}. $$ En la última igualdad utilizamos de nuevo la ecuación (8) de wiki.

Por último, poner (\ref{1}) y (\ref{2}) en la probabilidad condicional: $$ p(x_{i+1}\mid m)=\frac{ \frac1N \frac{m+1}{N-i} \frac{\binom{N+1}{i+2}}{\binom{N}{i}}}{ \frac1N \frac{\binom{N+1}{i+1}}{\binom{N}{i}}} = \frac{m+1}{i+2}. $$

Edita: Como señala acertadamente Luke Hewitt, esta solución supone implícitamente que $m> 0$ . Para este caso sólo es válida la igualdad (\ref{1}). Para $m=0$ ,

$$ \mathbb P(B) =\frac{\sum_{n=1}^N \binom{n}{m}\binom{N-n}{i-m}}{N{\binom{N}{i}}} =\frac{1}{N{\binom{N}{i}}} \sum_{n=0}^N \binom{n}{m}\binom{N-n}{i-m}-\frac1N = \frac1N \frac{\binom{N+1}{i+1}}{{\binom{N}{i}}}-\frac1N. \tag{3}\label{3} $$ Divida (\ref{2}) entre (\ref{3}) y obtenga la probabilidad condicional $p(x_{i+1}\mid m)$ para $m=0$ : $$ p(x_{i+1}\mid m) =\frac{m+1}{i+2}\cdot\frac{N+1}{N-i}. $$

Así que la respuesta final es: $$ p(x_{i+1}\mid m) =\begin{cases}\frac{m+1}{i+2}\cdot\frac{N+1}{N-i}, & m=0 \cr \frac{m+1}{i+2} & m>0 \end{cases} $$