Hoja de $\mathcal{O}_X$ -con restricción dada por la localización

Question

Sea $X$ sea un esquema, y considere la base abierta afín distinguida de la topología en $X$ . Es decir, los datos de todas las aperturas afines $\mathrm{Spec}(A)\subset X$ e inclusiones sólo de la forma $\mathrm{Spec}A_f\to\mathrm{Spec}A$ para $f\in A$ . Tiene sentido hablar de presheaves y sheaves sobre esta base, así como de presheaves y sheaves de $\mathcal{O}_X$ -módulos. Además, el funtor obvio da una equivalencia de categorías entre láminas sobre $X$ y gavillas sobre esta base. Para cualquier presheaf $\mathcal{F}$ de $\mathcal{O}_X$ -sobre la base abierta afín distinguida, el morfismo de restricción

$$\mathcal{F}(\mathrm{Spec A})\to\mathcal{F}(\mathrm{Spec}A_f)$$

factores como el compuesto

$$\mathcal{F}(\mathrm{Spec A})\to\mathcal{F}(\mathrm{Spec}A)_f\overset{\alpha}{\to}\mathcal{F}(\mathrm{Spec}A_f)$$

para algún morfismo $\alpha$ de $A_f$ -módulos. En las notas de Vakil, se demuestra el siguiente teorema muy útil:

Teorema. Si $\mathcal{F}$ es un gavilla de $\mathcal{O}_X$ -sobre la base abierta afín distinguida, entonces $\mathcal{F}$ es cuasicoherente si y sólo si $\alpha$ es siempre un isomorfismo.

Mi pregunta es si la siguiente versión aún más útil de una dirección del teorema es cierta:

Si $\mathcal{F}$ es un presheaf de $\mathcal{O}_X$ -sobre la base abierta afín distinguida tal que $\alpha$ es siempre un isomorfismo, entonces $\mathcal{F}$ es en realidad una gavilla (y por tanto es cuasicoherente).

Esto significaría que cualquier construcción que asigne un módulo a un anillo y "conmute con la localización" definiría una gavilla cuasicoherente.

Answer 1

Esto es cierto, y se ha señalado que el propio Vakil lo observa justo después del ejercicio 13.3.D. Más exactamente, casi lo observa, ya que el ejercicio 13.3.D (la demostración del teorema de mi pregunta) sólo se enuncia para gavillas de $\mathcal{O}_X$ -módulos. Sin embargo, la demostración del teorema da una respuesta afirmativa a mi pregunta. En efecto $\mathcal{F}$ sea una prehoja de $\mathcal{O}_X$ -sobre la base afín distinguida tal que la restricción viene dada por la localización. Entonces en cualquier afín abierto $\mathrm{Spec}A\subset X$ tenemos $\mathcal{F}|_{\mathrm{Spec}A}=\widetilde{\mathcal{F}(\mathrm{Spec}A)}$ y el lado derecho es una gavilla sobre $\mathrm{Spec}(A)$ . Por lo tanto $\mathcal{F}$ es una gavilla sobre la base afín distinguida de $X$ .