Los subgrupos de Lie incrustados son cerrados.

Question

Este es el ejercicio 2.1 del libro de teoría de Lie de Kirillov.

Sea $G$ sea un grupo de Lie y $H$ un subgrupo cerrado de Lie.

1. Demuestre que el cierre $\overline{H}$ de $H$ en $G$ está cerrado en $G$ .

2. Demuestre que cada coset $Hx$ , $x\in\overline H$ es abierto y denso en $\overline H$ .

3. Demuestre que $\overline H = H$ .

Kirillov define un subgrupo de Lie cerrado como

Un subgrupo cerrado de Lie $H$ de un grupo de Lie $G$ es un subgrupo que también es un submanifold incrustado.

Puedo mostrar (1), la parte densa de (2), y (3) asumiendo la apertura de (2). Pero ¿cómo demuestro que cada $Hx$ está abierto en $\overline H$ ?

Answer 1

Una pequeña corrección: la parte (1) del problema pide demostrar que $\overline{H}$ es un subgrupo de $G$ .

Lema : Si $N$ es un submanifold (incrustado) de $M$ entonces $N$ es localmente cerrado . Es decir, cada $x\in N$ tiene un barrio $V\subset M$ tal que $N$ está cerrado en $V$ (es decir, $N\cap V=\overline{N}\cap V$ ).

Por Lemma, cada $h\in H$ tiene un barrio $V\subset G$ para que $H\cap V=\overline{H}\cap V$ . Por la parte (1), el difeomorfismo dado por la multiplicación a la derecha por $x$ envía este conjunto a $Hx\cap Vx=\overline{H}\cap Vx$ que figura en $Hx$ y está abierto en $\overline{H}$ Esto demuestra que $Hx$ está abierto.

En cuanto al lema, aprendí la siguiente demostración de un solución del conjunto de problemas por Paul Apisa:

Demostración del lema : Fijar $x\in N$ y que $f:U\to\mathbb{R}^m$ sea un gráfico de $x$ en $M$ . Entonces $f|N:U\cap N\to\mathbb{R}^n$ es un gráfico de $x$ en $N$ ; set $h=f\circ(f|N)^{-1}$ . Sea $B$ sea una bola abierta en $\mathbb{R}^n$ centrado en $f(x)$ entonces $h(B)$ está abierto en $f(N)$ por lo que existe $U\subset M$ abierto para que $U\cap f(N)=h(B)$ . Ahora $\overline{B}$ es compacto, por lo que $h(\overline{B})$ es compacta y, por tanto, cerrada ( $M$ es Hausdorff). Entonces $$ h(B) \subseteq U \cap h(\overline{B}) \subseteq U \cap f(N) = h(B), $$ Así es $U\cap h(\overline{B})=h(B)=U\cap f(N)$ . Por lo tanto, $f^{-1}(U)\subset M$ es una vecindad de $x$ tal que $f^{-1}(U)\cap N=f^{-1}(U)\cap f^{-1}(h(\overline{B}))$ está cerrado en $f^{-1}(U)$ según se desee.