$\int_0^{\infty} (-1)^{\lfloor{x^2}\rfloor} dx$ ¿converge o diverge?

Question

Determina si la siguiente integral converge: $$\int_{0}^{\infty} (-1)^{\lfloor{x^2}\rfloor} dx$$

No tengo ni idea de cómo enfocar esto. Parece que diverge de forma similar a $\sin x$ pero no sé cómo mostrarlo.

Gracias, señor.

Answer 1

Se puede escribir esta integral como $\int_0^{\infty}(-1)^{\lfloor x^2\rfloor}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$ . ¿Puedes seguir a partir de ahí?

Answer 2

Toma la integral parcial: $$ I(t)=\int_0^t (-1)^{\lfloor x^2 \rfloor} dx $$ Luego se corta en trozos: $$ I(t) = \sum_{k=0}^{\lfloor t^2 \rfloor -1} \int_\sqrt{k}^\sqrt{k+1} (-1)^{\lfloor x^2 \rfloor} dx + \int_{\sqrt{\lfloor t^2 \rfloor}}^t (-1)^{\lfloor x^2 \rfloor} dx $$ Desde $\lfloor x^2 \rfloor$ es constante en cada intervalo, se puede saber escribir: $$ I(t) = \sum_{k=0}^{\lfloor t^2 \rfloor} (-1)^k(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}) + (-1)^{\lfloor t^2 \rfloor+1} (\sqrt{\lfloor t^2 \rfloor+1}-t) $$ Entonces, porque $x\mapsto \sqrt{x}$ aumenta a lo largo de $\mathbb{R}^+$ , $\sqrt{k+1}-\sqrt{k}>0$ . Y usted puede saber concluir mediante el uso de la prueba de series alternas .

Answer 3

Puedes hacer mucho más que demostrar que es convergente, puedes encontrar su valor explícito.
Como ya se ha señalado, $$ \int_{0}^{+\infty}(-1)^{\lfloor x^2\rfloor}\,dx = \sum_{n\geq 0}(-1)^n\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right) $$ es convergente por la regla de Leibniz, ya que $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ es positivo y decreciente hacia cero. Por la transformada (inversa) de Laplace y la integración por partes $$ \sum_{n\geq 0}(-1)^n\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\int_{0}^{+\infty}\frac{e^s-1}{s^{3/2}(e^s+1)}\,ds=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{+\infty}\frac{e^s}{\sqrt{s}(e^s+1)^2}\,ds $$ de ahí $$ \sum_{n\geq 0}(-1)^n\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=2\,\eta\left(\tfrac{1}{2}\right)-\frac{4}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{+\infty}\frac{ds}{(e^{s^2}+1)^2}\approx 0.76. $$