¿Integral de superficie de un volumen infinitesimal = 0?

Question

Abro los textos por primera vez en mucho tiempo y me preparo para la escuela con un repaso de cálculo vectorial. La pregunta 1 pide derivar las expresiones de divergencia para coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas, basándose en la ecuación

$$\nabla\cdot\vec{f} = \lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta V} \left[ \iint \vec{f}\cdot d\vec{s} \right]$$

(También refrescándome sobre el látex, \ooint parece que no existe en SE).

Así, para un punto dado $P$ y el vector $\vec{f}(P)$ en ese punto concreto, calculo el producto punto entre ese vector y la superficie orientada hacia el exterior sobre el volumen infinitesimal que lo rodea $P$ .

El problema es que si estoy viendo ambos lados de ese pequeño $dV$ con respecto a cada eje, los productos deben anularse exactamente. Así que para las superficies normales al eje x, obtenemos

$$f_x(P)\hat{i} \cdot dydz\hat{i} + f_x(P)\hat{i} \cdot dydz \left(\hat{-i}\right) = 0$$

Me imagino que los problemas más probables son que tengo algo así como un error de signo, o que la integración de $\vec{f}\cdot d\vec{s}$ debe rendimiento cero, y no estoy haciendo el cálculo que debería estar haciendo. Creo que no es lo primero, porque $\vec{f}(P)$ debería ser el mismo independientemente del lado con el que tomes el producto. ¿Es este último?

Answer 1

Tu problema es que estás tratando $\vec f$ como constante sobre este volumen, y la divergencia de un campo vectorial constante es $0$ .

Si el campo vectorial se trata como la velocidad de algún flujo, entonces la divergencia en un punto es la velocidad a la que el flujo sale del punto (negativa cuando el flujo entra en el punto). Si un "fluido" sale de un punto, entonces se esperaría que en los lados opuestos de un pequeño volumen alrededor del punto el flujo fuera en direcciones opuestas en lados opuestos. Esto no tiene por qué violar la continuidad, ya que el campo vectorial de este flujo hacia el exterior puede ser $0$ en el propio punto. Y si se añade un gran flujo localmente constante pasado el punto, no es necesario que todo el campo vectorial sea $0$ tampoco. Pero la divergencia del flujo constante es $0$ por lo que la divergencia sólo recoge la contribución del fluido emergente.

Así que en lugar de tratar $\vec f$ como el mismo en todas partes, descomponerlo en sus componentes pares e Impares sobre $P$ : $$\vec f_e(\vec v) = \frac 12(\vec f(P+\vec v)) + \vec f(P -\vec v)\\\vec f_o(\vec v) = \frac 12(\vec f(P+\vec v) - \vec f(P -\vec v))$$

En $\vec f(Q) = \vec f_e(Q - P) + \vec f_o(Q - P)$ encontrará que la integración para $\vec f_e$ es realmente $0$ pero para $\vec f_o$ el campo vectorial tiene signos opuestos en cada dirección, por lo que no se anula.