¿Puede comunicarse una desviación típica de las puntuaciones brutas como desviación típica de los porcentajes?

Question

Supongamos que tenemos un test compuesto por 30 preguntas y que 10 personas lo realizan. La puntuación media de estas 10 personas es 17, y la desviación típica de todas las puntuaciones de la muestra es 4. Al presentar las estadísticas descriptivas en la escuela, utilizamos estas puntuaciones brutas y escribimos ( M \=17, SD \=4); pero en algunos casos tengo la sensación de que sería mejor informar de los porcentajes. Porque creo que tenemos una comprensión más intuitiva de lo que significa puntuar 56,7 sobre 100 que puntuar 17 sobre 30 (probablemente porque estamos acostumbrados al sistema decimal).

Así pues, para el ejemplo anterior, ¿sería posible indicar la media y la desviación típica como ( M \=56.7%, SD \=13.3%)?

¿Tiene sentido decir que las puntuaciones de los exámenes de una muestra tienen una desviación típica del 13,3%?

Estos porcentajes son el equivalente aritmético de las puntuaciones brutas que inventé y di más arriba, pero no estoy seguro de si es una buena práctica convertirlos directamente en porcentajes de esa manera.

Answer 1

La desviación típica no es más que una propiedad estadística que se puede medir para un conjunto de puntos de datos. La desviación típica no presupone que los datos se distribuyan normalmente ni que hayan pasado por transformaciones lineales o de otro tipo.

Por lo tanto, es perfectamente aceptable utilizar la desviación típica en cualquier dato, incluidas las puntuaciones porcentuales.

Observa que, en tu caso particular, la transformación que estás aplicando es una transformación lineal, de la forma:

$$ y = Ax + b $$

es decir, una transformación afín. Por tanto, puede calcular la desviación típica de los datos originales sin transformar y multiplicarla por A para obtener la desviación típica después de la transformación. No parece haber ninguna ventaja particular en hacer esto en lugar de simplemente calcular la desviación estándar en los datos ya transformados, pero podría ser tranquilizador.

Podemos ver que una transformación afín transformará la desviación típica linealmente por $A$ como sigue:

Dado que tenemos datos de entrada $\{X_1, X_2, ..., X_n\}$ la desviación típica original, $\sigma$ será impartido por:

$$ \sigma_X^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left(X_i - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j\right)^2 $$

Apliquemos la transformación $Y = AX + b$ . Entonces tenemos

$$ \sigma_Y^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( AX_i + b - \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \left( AX_j + b \right) \right)^2 $$

$$ = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( AX_i + b - n\frac{1}{n}b - \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \left( AX_j \right) \right)^2 $$

$$ = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( AX_i - \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \left( AX_j \right) \right)^2 $$

$$ = A^2 \left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( X_i - \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \left( X_j \right) \right)^2 \right) $$

$$ = A^2 \sigma_X^2 $$

Por lo tanto

$$ \sigma_Y = A \sigma_X. $$