El conjunto de puntos convergentes de una sucesión de funciones continuas es Borel

Question

Supongamos que $f_n$ son continuas. Demostrar que $E=\{x\in \mathbb{R}:f_n(x)\text{ is convergent}\}$ es Borel.

Mi primer instinto es tomar las bolas alrededor de $\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ para cada $x$ en $E$ y luego demostrar que tiene que haber alguna bola lo suficientemente pequeña como para que todo lo que está dentro de esa bola sea miembro de $E$ . Pero esto implicaría no sólo que $E$ es Borel, pero además que es abierto, por lo que no creo que pueda ser correcto. ¿Puede alguien mostrarme cómo hacerlo?

Answer 1

Observando que la convergencia en $\mathbb{R}$ es equivalente a la condición de Cauchy, su conjunto $E$ puede escribirse así $$E =\bigcap_{\varepsilon\in\mathbb{Q}_{>0}} \bigcup_{N\in\mathbb{N}}\bigcap_{n,m>N}\{x: |f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon\}$$

utilizando la definición habitual de la sucesión de Cauchy pero escrita con la notación de conjunto (para todo $\varepsilon >0$ bla, bla, bla...). Pero esto no son más que operaciones de conjuntos contables sobre conjuntos abiertos (ya que $f_n$ son todas continuas) y, por tanto, medibles de Borel.

Answer 2

Ciertamente su argumento no funcionará - considere $f_n(x)=nx.$ Ahora $E=\{0\}$ .

Esta es una pregunta en la que realmente creo que el lógico enfoque es útil: piense en cómo $E$ es definido e intentar convertir esa definición en una construcción de $E$ mediante uniones e intersecciones contables.

Específicamente, $x\in E$

$\iff$ el $f_n$ s convergen en $x$

$\iff \lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)$ existe

$\iff \exists r$ tal que $\forall \epsilon$ , $\exists m$ tal que $\forall k>m$ tenemos: $\vert f_k(x)-r\vert<\epsilon$

(Ahora a deshacerse de ese " $\exists r$ que cuantifica más de incontablemente muchas cosas )

$\iff \forall \delta\in\mathbb{Q}_{<0}\exists q, q'\in\mathbb{Q}$ tal que $\vert q-q'\vert<\delta$ y $\exists m$ tal que $\forall k>m$ tenemos: $f_k(x)\in (q, q')$ .

(Es decir, acabamos aterrizando en intervalos racionales cada vez más pequeños).

Ahora piensa en la cuantificación sobre conjuntos contables como si fueran operaciones booleanas: " $\forall$ " como intersecciones contables, y " $\exists$ "como uniones contables. Por ejemplo, el conjunto $\mathbb{Q}=\{x: x\text{ is rational}\}=\{x: \exists a, b(x={a\over b})\}$ ; el conjunto de $x$ tal que $x={a\over b}$ para $a, b$ fijo es cerrado y así $\mathbb{Q}$ es una unión contable de conjuntos cerrados, o $F_\sigma$ o $\Sigma^0_2$ .

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Hay una sutileza aquí - obviamente tenemos que utilizar el hecho de que el $f_n$ s son continuos, en alguna parte. ¿Pero dónde?