Grandes divisores y pequeñas transformaciones

Question

Sea $X$ sea una variedad proyectiva lisa tal que $-K_X$ es amplio. Sea $f:X\dashrightarrow Y$ sea un pequeño $\mathbb{Q}$ -transformación factorial. Me gustaría saber si es cierto o no que:

• $-K_Y$ es grande,
• existe un $\mathbb{Q}$ -divisor $D\subset Y$ tal que $-(K_Y+D)$ es amplio.

Answer 1

Sea $f:X\dashrightarrow Y$ sea un mapa pequeño. Sea $D$ sea un divisor grande en $D$ . Entonces para $m >>0$ el mapa $\phi_{mD}:Y\dashrightarrow Z$ inducido por $mD$ es birracional. Ahora bien, si $\Delta:=f^{*}D$ entonces el mapa inducido por $m\Delta$ es $\phi_{mD}\circ f$ que también es birracional. Por lo tanto $\Delta$ es grande. Concluimos que $D$ es grande si y sólo si $\Delta$ es grande. En particular $-K_Y$ es grande si y sólo si $-K_X$ es grande.

En tu caso, $-K_X$ amplia $\Rightarrow$ $-K_X$ grand $\Rightarrow$ $-K_Y$ grande.

Por el Corolario 2.2.7. de Lazarsfeld, "Positividad en Geometría Algebraica I" un divisor $D$ es grande si y sólo si existe un divisor amplio $A$ y un número entero positivo $m$ tal que $mD = A+N$ donde $N$ es eficaz. Por lo tanto $-(-D+\frac{1}{m}N) = \frac{1}{m}A$ . En su caso $D = -K_Y$ y consigues que $-(K_Y+\frac{1}{m}N) = \frac{1}{m}A$ es amplio.