Si $a$ es un número entero impar, entonces $x^2+x-a = 0$ no tiene soluciones enteras

Question

Se supone que debo demostrar por contrapositiva que si $a$ es un entero impar entonces la ecuación $x^2+x-a=0$ no tiene solución entera.

Por contrapositivo:

Si la ecuación $x^2+x - a = 0$ tiene una solución entera, entonces $a$ es un número entero par. Así que intento aplicar la fórmula cuadrática y tengo este resultado $\frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4a}} 2$ . No tengo ni idea de cómo se supone que puedo obtener una solución entera de esto, y mucho menos una solución par. He tratado de multiplicar por el conjugado, pero se pone muy complicado y siento que estoy pensando demasiado. Gracias por vuestra ayuda.

Answer 1

Pista: Si $x$ es cualquier número entero, entonces $x^2+x$ es par.

Answer 2

Sugerencia $\ $ Demuestre que $\rm\,f(x)\,$ es impar so $\ne 0\,$ si $\rm\,x\,$ es par o impar. De forma más general tenemos

Prueba de raíz de paridad $\ $ Un polinomio $\rm\,f(x)\,$ con coeficientes enteros no tiene raíces enteras cuando su coeficiente constante y su suma de coeficientes son Impares.

Prueba $\ $ La prueba verifica que $\rm\ f(0) \equiv 1\equiv f(1)\ \ (mod\ 2),\ $ es decir que $\rm\:f(x)\:$ no tiene raíces módulo $2$ por lo tanto no hay raíces enteras. $\ $ QED

La prueba de raíz de paridad se generaliza a cualquier anillo con un sentido de la paridad, por ejemplo, los enteros de Gauss $\rm\: a + b\,{\it i}\ $ para números enteros $\rm\:a,b.\:$ Para más información, véase esta entrada y también estos entradas relacionadas.

Answer 3

$\sqrt{1+4a}$ debe ser impar para tener una solución entera. Entonces, $1+4a=(2k+1)^2$ para algún número entero $k$ . Por lo tanto, $a=k(k+1)$ lo que implica $a$ es par.

Answer 4

$a=2n+1 \to x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1+4(2n+1)}}{2}$ .

El problema es mostrar $8n+5$ no puede ser un cuadrado. Considere $(8k+n)^2 \pmod 8$ como $n$ va desde $0 \to 7$ no puedes tenerlo igual $5 \pmod 8$ .