representación canónica de tres líneas oblicuas en $\mathbb{P}^3$

Question

Consideremos tres rectas oblicuas (no intersecantes) $L,M,N$ en $\mathbb{P}^3$ . Cada línea viene dada por dos ecuaciones de la forma $\alpha_{i,j}^\top z = 0, \, i=1,2,3, j = 1,2$ donde $z=(z_0,z_1,z_2,z_3)$ son las coordenadas homogéneas de $\mathbb{P}^3$ y $\alpha_{i,j} \in \mathbb{P}^3$ .

Lo que quiero es demostrar que hasta la equivalencia proyectiva las ecuaciones para las tres líneas se pueden escribir como (esto es posible según la insinuación de ejercicio 2.12 en Harris, Algebraic Geometry - a first course)

$L: \, z_0=z_1=0 \\ M: \, z_2=z_3 = 0 \\ N: \, z_0=z_3, \, z_1=z_2.$

Ya que decir $L, M$ no se intersecan, lo que implica que $\alpha_{i,j}$ para cada $i=1,2, j=1,2$ están en posición general. Por lo tanto, son proyectivamente equivalentes a $(1,0,0,0), (0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)$ . Esto nos da la descripción que queremos para $L$ y $M$ . Pero ¿qué tal $N$ ?

Nótese aquí que el resultado más general que tenemos es la equivalencia proyectiva entre dos conjuntos de 5 puntos en posición general. En el contexto de la presente pregunta, me preocupan dos cosas:

1) El hecho de que las líneas $L,M,N$ son sesgadas no implica en general que cada grupo de 5 puntos entre los $\alpha_{i,j}$ estará en posición general.

2) El $\alpha_{i,j}$ ¡son seis!

Pregunta: ¿Qué me estoy perdiendo? ¿Cómo se pueden resolver estos dos problemas?

Answer 1

Pensemos en términos de álgebra lineal. Tenemos $3$ $2$ -subespacios dimensionales $S$ , $T$ y $U$ en $V=k^4$ que se cruzan trivialmente.

Desde $S\cap T=0$ tenemos $V=S\oplus T$ . Sea $\{u_1,u_2\}$ sea una base de $U$ y supongamos que $u_1=s_1+t_1$ y $u_2=s_2+t_2$ con el $s_i$ en $S$ y el $t_i$ en $T$ . Desde $U\cap S=U\cap T=0$ , los cuatro de $s_1$ , $s_2$ , $t_1$ , $t_2$ son distintos de cero.

• Si $s_1$ y $s_2$ son linealmente dependientes, de modo que, por ejemplo $u_2=\alpha u_1$ entonces $\alpha u_1-u_2=\alpha t_1-t_2\in T\cap U=0$ para que de hecho también $t_2=\alpha t_1$ lo cual es absurdo porque nos dice que $u_1=u_2$ .

• Si $t_1$ y $t_2$ son linealmente dependientes, podemos hacer lo mismo.

• Si no se da ninguno de estos dos casos, entonces $\{s_1,s_2,t_1,t_2\}$ es una base de $V$ y si $x_1,x_2,x_3,x_4$ son coordenadas con respecto a él, las ecuaciones de nuestros subespacios son \begin{align} &x_3=x_4=0 && \text{for $S$,} \\ &x_1=x_2=0 && \text{for $T$ and} \\ &x_1-x_3=x_2-x_4=0 && \text{for $U$.} \end{align}