Me preguntan si la función $f(x)=x\sin(\frac{1}{x})$ es uniformemente continua en $\mathbb{R}\setminus\{0\}$
Mi primera intuición fue calcular su derivada: $f'(x)=\sin(\frac{1}{x})-\frac{1}{x}\cos(\frac{1}{x})$
He descubierto que esta función no está acotada cuando se acerca a $0$ . Así que $f$ no es Lipschitz en $\mathbb{R}\setminus\{0\}$
Luego elegí secuencias $x_{n}=\frac{1}{2\pi n}$ y $y_{n}=-\frac{1}{2\pi n}$ y calculado $|f(x_{n})-f(y_{n})|=4\pi n\rightarrow+\infty$
Así que estoy convencido de que $f(x)$ no es uniformemente continua en $\mathbb{R}\setminus\{0\}$
¿Es correcto mi planteamiento?
