Axioma de elección : ¿Es un axioma o un hecho trivial?

Question

Esta pregunta puede ser grosera o inapropiada, pero soy muy principiante en el estudio de las matemáticas.

Hoy había aprendido el concepto de Axioma de Elección, que establece que $ \forall$ conjunto indexado no vacío $S_i$ , hay $\exists$ familia indexada de elementos $x_i$ donde $\forall x_i \in Si$ .

A mí, al principio me llegó como un mero hecho, pero no puedo entender por qué este axioma debe haber sido aceptado como un axioma.

Es un poco confuso para mí.

Para resumir la noción de este PO, podría resumirse como sigue:

1. ¿Por qué el concepto de axioma de elección debe aceptarse como axioma?

2. ¿Qué hace que una afirmación sea valorada para ser designada como axioma?

Answer 1

En la teoría de conjuntos "ingenua", los conjuntos son colecciones de cosas. En la teoría de conjuntos "axiomática", los conjuntos son cualquier cosa que satisfaga los axiomas: objetos matemáticos abstractos. Al igual que las piezas de ajedrez no tienen por qué ser trozos de madera que se mueven sobre un tablero colocado sobre una mesa, sino que pueden ser bits de información en un ordenador, los conjuntos tampoco tienen por qué ser conjuntos del tipo que te explicaron en séptimo curso.

Del mismo modo, en geometría, los puntos y las líneas no tienen por qué ser puntos y líneas en el espacio físico, sino que pueden ser cualquier cosa que satisfaga los axiomas. Y uno encuentra que ciertos axiomas son satisfechos por cosas que no satisfacen el postulado paralelo. Del mismo modo, los axiomas de la teoría de conjuntos distintos del axioma de elección pueden ser satisfechos por cosas que no satisfacen el axioma de elección.

¿Existe un "conjunto de todos los calcetines izquierdos" cuando existen infinitos pares de calcetines y en cada par no hay forma objetiva de determinar cuál es el calcetín "izquierdo"? Algunas personas se oponen por motivos filosóficos a la idea de que pueda existir un conjunto que contenga un elemento de cada par cuando no hay ninguna regla que permita decir en cada caso cuál pertenece a ese conjunto.