Derivación de las funciones de demanda a partir de la utilidad

Question

Un consumidor compra alimentos $X$ y ropa $Y$ . Su función de utilidad viene dada por: $U(X,Y) = XY +10Y$ los ingresos son $\$ 100 $ the price of food is $\$1$ y el precio de la ropa es $P_y$ .

Deduce la ecuación de la función de demanda de ropa del consumidor.

He encontrado las condiciones de primer orden para $X$ y $Y$ y a continuación se resuelve para $Y$ que me dio $Y = X/P_y -10$ Luego combiné esto con la restricción presupuestaria para obtener $2X - 10P_y = 100$ Por favor, ¿podrían aconsejarme si mis respuestas son correctas, ya que es mi primer intento de derivar funciones de demanda? Además, ¿es la utilidad cuasilineal? Sé que una ecuación de la forma $U(X,Y) = f(X) + Y$ es cuasilineal pero no sé si $U(X,Y) = f(x,Y) + Y$ encajaría en la categoría.

Answer 1

Una función de demanda relaciona la cantidad demandada de un bien por un consumidor con el precio del bien. Así, deseamos encontrar $Y = f(P_Y)$ .

Planteamiento del problema de optimización:

$$\max{U(X,Y)}$$

sujeto a: $$ I = P_x X + P_Y Y $$

donde $I$ son los ingresos, $P_X$ es el precio del bien $X$ et $P_Y$ es el precio del bien $Y$ .

Utilizando los valores que has proporcionado, el problema de optimización es:

$$ \max{ (XY + 10Y) } $$

sujeto a: $$ 100 = 1 \cdot X + P_Y Y $$

Planteando esto como un problema de Lagrange,

$$ L = XY + 10Y + \lambda (100 - X - P_Y Y )$$

Tomando las condiciones de primer orden, obtenemos:

$[X]:$ $\frac{ \partial U(X,Y) }{ \partial X} = Y - \lambda = 0$

$[Y]:$ $\frac{ \partial U(X,Y) }{ \partial Y} = X + 10 - \lambda P_Y = 0$

$[ \lambda ]:$ $\frac{ \partial U(X,Y) }{ \partial \lambda } = 100 - X - P_Y Y = 0$

Tenga en cuenta que, en este punto, normalmente tomará las condiciones de segundo orden para asegurarse de que tiene un máximo. Es evidente que en este caso tenemos un máximo, ya que $U$ es estrictamente creciente en $X$ y $Y$ .

Combinación de $[X]$ y $[Y]$ obtenemos $X + 10 = Y P_Y$

Queremos obtener la demanda de ropa, así que resolveremos para $X$ con la intención de sustituirlo en la restricción presupuestaria, $X = Y P_Y - 10$ . Sustituyendo en la restricción se obtiene: $100 = 2 P_Y Y - 10$ o una ecuación de demanda final de:

$$ Y = \frac{45}{P_Y} $$

Por último, para que una función de utilidad sea cuasilineal, debe poder expresar una utilidad como función lineal de uno de los bienes. Tenga en cuenta que en su caso esto no es posible, ya que existe una interacción entre $X$ y $Y$ . La razón por la que la cuasilinealidad es buena es que permite expresar la utilidad en términos de un bien numérico.

Answer 2

Consideremos un monopolio con una función de producción dada por $q = f(x) =\sqrt x$ y un coste fijo de \$1. The input price is \$ 0.50. La monopolista vende su producto en un mercado que tiene diez consumidores.

Sea $p$ denotan el precio unitario del bien. Supongamos que podemos representar las preferencias de cada consumidor de la siguiente manera: Si el consumidor $i$ compras $q$ unidades del bien y tiene $y$ dólares para gastar en todos los demás bienes, cuyos precios se mantienen fijos, la utilidad del consumidor es $$\sqrt q+k_iy$$ donde tres de los consumidores tienen $k_i = 4$ cuatro tienen $k_i = 3$ y tres tienen $k_i = 2$ . Cada uno de estos diez consumidores tiene 1.000 dólares para gastar.

(a) Suponiendo que las soluciones óptimas q e y al problema de maximización de la utilidad del consumidor son ambas estrictamente positivas para todo $k_i$ halle la función de demanda del mercado que el monopolista debe afrontar.
(b) Encuentre el precio y la cantidad que maximizan los beneficios del monopolista.