En primer lugar, si los paseos se realizan sobre una cuadrícula cartesiana, se produce una bipartición de la red en 2 subconjuntos (digamos A y B) de sitios, cada uno formado por los vecinos de otros. Los 2 caminantes permanecen en conjuntos A y B diferentes si empiezan en conjuntos diferentes, de modo que la probabilidad de encontrarse en el mismo sitio es 0, como ya ha señalado D. Zare. Si se utiliza una rejilla no bipartita (por ejemplo, la rejilla triangular) para el paseo aleatorio, entonces esta cualificación no se aplicaría.
En segundo lugar, en 1 dim comenzando en el mismo (digamos par) subconjunto de sitios, el par de caminantes es equivalente a un único paseo dando pasos de -2, 0, o +2 con probabilidades respectivas 1/4, 1/2, 1/4 -- y la cuestión se reduce a si este nuevo único paseo llegará alguna vez al origen (dado que la distancia inicial desde el origen es par). La prueba de Polya nos dice que este nuevo paseo llegará al origen con certeza final.
En tercer lugar, en 2 dim comenzando en el mismo subconjunto de sitios, el par de caminantes (original) es equivalente a un solo paseo dando pasos de tamaños apropiados -- si el paso para el caminante original 1 es s(1) y para el caminante original 2 es s(2), con probabilidad conjunta (1/4)x(1/4), entonces el nuevo paseo da un paso S con una probabilidad que es 1/16 veces el número de pares (ordenados) s(1) & s(2) que se suman para dar S. De nuevo la prueba de Polya nos dice que la probabilidad última de que el nuevo paseo llegue al origen es 1.
En dimensiones más altas, la probabilidad de seguir de nuevo a Polya es estrictamente inferior a 1.
La idea es que la prueba de Polya es robusta bajo ciertas modificaciones del paseo aleatorio. En 2-dim el paseo puede ser modificado para tener diferentes probabilidades para los pasos horizontales y verticales - o pasos diagonales también se puede permitir (aunque entonces las consideraciones de "paridad" no se aplican). Sin embargo, la prueba de Polya falla si el paseo recibe un sesgo de "inversión no simétrica", es decir, con diferentes probabilidades en las direcciones este y oeste (o norte y sur). También me parece que si el paseo es sobre una rejilla fractal, que el retorno cierto debería ser para dim menor o igual a 2, mientras que el retorno incierto debería aplicarse para dim 2+eps para todos los eps>0. Las cuestiones de lo que ocurre con una rejilla cartesiana para la que los bordes se eliminan aleatoriamente (con cierta probabilidad p) también parece interesante -- y creo que tal vez se ha considerado en relación con la "teoría de la percolación".
