Sea $f$ sea continua y no negativa en $[a,b]$ . Demuestre que $ \exists c \in [a,b] $ con $f(c)=( \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f^2)^.5$

Question

Sea $f$ sea continua y no negativa en $[a,b]$ . Demuestre que $\exists c \in [a,b]$ con $f(c)=( \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f^2)^.5$

Este es mi intento: Desde $f$ es continua en $[a,b]$ por el método del valor medio de las integrales, $ \exists c \in [a,b]$ con $\int_{a}^{b} f =f(c)(b-a)$ Dividir por $(b-a)$ desde $b \neq a $ obtenemos $f(c)= \frac{1}{(b-a)} \int_{a}^{b} f$ .

Ahora estoy teniendo problemas para mostrar que $f(c)=( \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f^2)^.5$

Answer 1

$f$ es continua en $[a,b]\implies$

$ f^2$ continua en $[a,b]$ y por Mvt,

$$\exists c\in[a,b]\;:\; \int_a^bf^2=(b-a)f^2(c)$$

así $$|f(c)|=f(c)=\sqrt{\frac{1}{b-a}\int_a^bf^2}$$

Answer 2

Pista: En $f$ es continua en $[a,b]$ alcanza su mínimo y su máximo, por ejemplo, en $m$ y $M$ . Así que \begin{align} f(m)=\left(\frac{1}{b-a}\int_a^bf(m)^2dx\right)^{1/2}\leq&\left(\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)^2dx\right)^{1/2}\\ \leq&\left(\frac{1}{b-a}\int_a^bf(M)^2dx\right)^{1/2}=f(M) \end{align}