integración de la función continua en $[0,1]$ con $f(0)=1$

Question

Sea $f$ sea una función continua sobre $[0,1]$ con $f(0)=1$ . Sea $G(a)=\frac{1}{a} \int_{0}^{a}f(x)dx$ .

1. $\lim_{a\to 0} G(a)=\frac{1}{2}$

2. $\lim_{a\to 0} G(a)=1$

3. $\lim_{a\to 0} G(a)=0$

4. $\lim_{a\to 0} G(a)$ no existe

¿es correcta la opción 2 utilizando la regla de L'Hospitals?

Answer 1

Pista:

$$\lim_{a\to 0} G(a) = \lim_{a\to 0} \frac{\int_0^{0+a} f(x)\ dx - \int_0^0 f(x)\ dx}{a} = \left[\frac{d}{da} \int_0^a f(x)\ dx\right](0)$$

Answer 2

Sí, tienes razón. Pero es más sencillo utilizar la definición de derivada de $G$ .