¿Cómo se calcula el ángulo entre dos vectores expresados en coordenadas esféricas?

Question

Dados dos vectores $u, v \in \mathbb{R}^d$ representados en coordenadas esféricas, ¿existe una fórmula simple para calcular el ángulo entre los dos vectores? Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que los vectores $u$ y $v$ tienen norma unitaria.

No estoy seguro de que la siguiente notación sea estándar, pero asumo que el vector $u$ está definido con $\rho = 1$ y los componentes angulares $\theta_1, \ldots, \theta_{d-1}$. Podemos obtener los componentes euclídeos de la siguiente manera: $$u_{x_1} = \cos \theta_1$$ $$u_{x_2} = \sin \theta_1 \cos \theta_2$$ $$\ldots$$ $$u_{x_{d-1}} = \sin \theta_1 \ldots \sin \theta_{d-2} \cos \theta_{d-1}$$ $$u_{x_d} = \sin \theta_1 \ldots \sin \theta_{d-2} \sin \theta_{d-1}.$$

Una forma de encontrar el ángulo es representar los dos vectores en coordenadas euclídeas y calcular el arco coseno del producto punto. ¿Existe una forma más simple?

Como se señaló en los comentarios, ¿hay alguna generalización de la fórmula Haversine?

Answer 1

Aquí hay una idea recursiva que podría funcionar. Deja que $s_1$, $s_2$,..., $s_{n-1}$ sean los senos de los ángulos del primer vector en $S^{n-1}$, $c_1$, ..., los cosenos, y $s'_{\nu}$ y $c'_{\nu}$ los del segundo. Con $p$ siendo el producto escalar, tenemos $p=1$ para $n=1$, $p=c c'+s s'$ para $n=2$ y genéricamente $$p(n)=c_1 c'_1 + s_1 s'_1 p(n-1)$$ donde $p(n-1)$ es el producto escalar de los vectores dados por los ángulos $[\theta_2,...]$ y $[\theta'_2,...]$ en $S^{n-1}$ (es decir, al remover el primer ángulo de cada secuencia).

Esto, por supuesto, todavía requiere todos los senos y cosenos, pero mi idea es simplificar $p(n-2)$ usando la fórmula del semiverseno y esperar que esto reduzca el número de llamadas a funciones trigonométricas.

Answer 2

Fórmula simple y alternativa de la derivación de la fórmula de Ralf, sin necesidad de adivinar:

Ángulo entre los vectores: $$\alpha = \arccos\left({{u \cdot v}\over{|u| |v|}}\right)$$ $$u \cdot v = \sum_i u_i v_i$$ en coordenadas hiperesféricas (n+1 dimensiones, por lo tanto, n ángulos): $$u_i(n) = |u| \cos(\theta_i) \prod_{j=1}^{i-1}{\sin(\theta_j)}$$ excepto cuando i=n: $$u_n(n) = |u| \prod_{j=1}^{n}{\sin(\theta_j)}$$ y similar para v (usaré $\phi$ para los ángulos de v).

Con vectores unitarios combinamos las tres fórmulas de la siguiente manera: $$\cos(\alpha) = \sum_{i=1}^{n-1}{\cos(\theta_i)\cos(\phi_i) \prod_{j=1}^{i-1}{\sin(\theta_j)\sin(\phi_j)}} + \prod_{i=1}^{n}{\sin(\theta_j)\sin(\phi_j)}$$ que se puede escribir como una regla recursiva: $$\cos(\alpha)_n = \cos(\theta_{n-1})\cos(\phi_{n-1}) \cos(\alpha)_{n-1} + \prod_{j=1}^{n}{\sin(\theta_j)\sin(\phi_j)}$$

Lo cual es similar a lo que contiene la respuesta de Ralf (se intercambian cos/sin).

Answer 3

Tal vez un cambio a una base diferente en coordenadas esféricas podría hacer el problema más sencillo, o incluso llevar a una solución directa. Por ejemplo, si quieres saber el ángulo subtendido por el arco de Nueva York a Cleveland, podrías deslizar las líneas de latitud/longitud hasta que el meridiano pasara por ambas ciudades y una estuviera en el ecuador.

Por supuesto, cuando empiezas con lo que parece ser un enfoque diferente, a menudo te encuentras haciendo la misma aritmética.

Answer 4

No nos compliquemos. Podemos asumir que la longitud de cada vector es 1. Calcula las coordenadas (x,y,z) de los vectores, y luego la distancia euclidiana, d, entre ellos. Entonces el ángulo es uno de los ángulos de un triángulo isósceles con dos lados = 1 y un lado = d.