Pregunta sobre un post anterior acerca de la suma de series

Question

El puesto en cuestión es aquí . En los comentarios, se demuestra además que converge para $|z|\neq 1$ Sin embargo, nadie responde cómo demostrar que converge a una función analítica en esta región. Gracias por echar un vistazo.

Answer 1

Dado un conjunto abierto $\Omega\subseteq \Bbb C$ Recordemos que las siguientes condiciones son equivalentes:

1. $f:\Omega\to\Bbb C$ es holomorfa en $\Omega$ ;

2. $f:\Omega\to\Bbb C$ es continua, y para todo $z_0\in \Omega$ hay un disco abierto $\Delta(z_0,r)\subseteq \Omega$ tal que $\int_{\gamma} f(z)\,dz=0$ para todas las trayectorias cerradas (digamos) lineales a trozos $\gamma:[a,b]\to \Delta(z_0,r)$ ;

3. $f:\Omega\to\Bbb C$ es continua, y $\int_\gamma f(z)\,dz$ para todos $z_0\in\Omega$ todos los discos abiertos $\Delta(x_0,r)\subseteq \Omega$ y todas las trayectorias cerradas lineales a trozos $\gamma:[a,b]\to\Delta(z_0,r)$ .

Se trata esencialmente del teorema de Morera más el hecho de que la holomorfía es una propiedad local. Una consecuencia de esto es que si $f_n$ es una secuencia de funciones holomorfas $\Omega\to \Bbb C$ que converge uniformemente en subconjuntos compactos de $\Omega$ entonces su límite $f$ es holomorfa en $\Omega$ . De hecho $z_0\in \Omega$ , dejemos que $K\subseteq\Omega$ ser compacto y $r>0$ tal que $\Delta(z_0,r)\subseteq K^\circ$ y que $\gamma:[a,b]\to\Delta(z_0,r)$ sea una trayectoria cerrada lineal a trozos. $f$ es obviamente continua. Por (3), $\int_\gamma f_n(z)\,dz=0$ para todos $n$ de modo que $$0\le\left\lvert\int_\gamma f(z)\,dz\right\rvert=\left\lvert\int_\gamma f(z)-f_n(z)\,dz\right\rvert\le \int_a^b \lvert f(\gamma(t))-f_n(\gamma(t))\rvert M_\gamma\,dt\le\\\le M_\gamma(b-a)\sup_{z\in K}\lvert f(z)-f_n(z)\rvert\stackrel{n\to\infty}\longrightarrow 0$$

donde $M_\gamma$ es una constante que sólo depende de $\gamma$ . Por lo tanto, $\int_\gamma f(z)\,dz=0$ y $f$ satisface (2). Por lo tanto, $f$ es holomorfa.

Esto se aplica a la secuencia de sumas parciales, con el conjunto abierto $\Omega=\{z\in\Bbb C\,:\, \lvert z\rvert\ne 1\}$ . Para una convergencia uniforme en subconjuntos compactos de $\Omega$ puede utilizar la prueba M de Weierstrass y las estimaciones dadas en las respuestas (por ejemplo, la del usuario Martín-Blas Pérez Pinilla)

Answer 2

Tiene una serie de Taylor que converge a ella dentro de $|z|\lt1$ y una serie de Laurent que converge a ella fuera del círculo.