Encontrar el límite en 0

Question

Encuentre $\lim_{x\to 0}\frac{(1+\sin 2x)^\frac{1}{x}-e^2}{x}$ .

Utilizo la regla de L'hopital y obtengo igual a $\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}(1+\sin 2x)^\frac{1}{x}\left[\frac{2x\cos 2x}{1+\sin 2x}-\ln(1+\sin 2x)\right]$ pero parece imposible continuar. ¿Cómo puedo proceder a partir de aquí?

Por cierto, la respuesta de Mathematica es $-2e^2$ .

Answer 1

SUGERENCIA:

Tenga en cuenta que el uso de $\sin(x)=x+O(x^3)$ , $\log(x)=x-\frac12 x^2+O(x^3)$ y $e^x=1+x+O(x^2)$ podemos escribir

$$\begin{align} (1+\sin(2x))^{1/x}&=e^{\frac1x \log(\sin(2x))}\\\\ &=e^{\frac1x (2x-2x^2+O(x^3))}\\\\ &=e^2e^{-2x+O(x^2)}\\\\ &=e^2(1-2x+O(x^2)) \end{align}$$