¿Son parametrizaciones de la misma curva?

Question

Tengo una duda respecto a la parametrización de $f(x) = x^2$ . Estoy estudiando las curvas se pueden parametrizar de diferentes maneras, cambiando la velocidad con la que recorren su camino. [ ] $$f(t)=(t,t^2)$$ et $$f(t)=(2t,4t^2)$$ representan la misma curva recorrida con diferente velocidad.

No estoy seguro si escribimos algo como, $$f(t)=(t^2,t^4)$$
¿Cambia algo el hecho de que los componentes de estos últimos ya no sean múltiplos de los anteriores?
Sé que la pregunta puede parecer un poco ambigua y amplia, ¡pero cualquier explicación o consejo sobre el tema será bienvenido con entusiasmo!

Answer 1

Tu notación es un poco confusa, pero tu pregunta es buena.

Para aclarar la notación, su primera parametrización es $$\left\{ \matrix{ x=t\\f = t^2} \right.$$ y el segundo es $$\left\{ \matrix{ x=2t\\f = 2t^2} \right.$$ y no son curvas equivalentes; pero si te referías a $$\left\{ \matrix{ x=2t\\f = (2t)^2} \right.$$ entonces serían equivalentes sólo con diferentes "velocidades" a lo largo de las dos parametrizaciones.

Su tercera curva $$\left\{ \matrix{ x=t^2\\f = (t^{2})^{2} } \right.$$ sería el mismo excepto por un hecho importante: el rango de $x$ ya no es $(-\infty,\infty)$ En cambio $(0,\infty)$ . Se trata, pues, de una parametrización de sólo la mitad izquierda de la curva original.

Es decir, tiene la idea correcta pero debe tener cuidado de que el rango de $x$ está totalmente cubierto.