Prueba geométrica de la Fórmula para el Simplex Números

Question

Yo estaba muy impresionado por una hermosa prueba¹ de la fórmula para el n-esima triangular número - en una especie de bijective la prueba incorporada en la parte superior de la suma geométrica idea.

Pregunta: ¿este argumento generalizar a dimensiones superiores? es decir, alguien puede probar la fórmula para el n-ésimo "k-dimensional simplex número" de esta manera?

Por ejemplo, la instrucción para k=3 es que el n-ésimo piramidal número es $\binom{n+2}{3}$.

(Un evidente retroceso sería la observación de que cualquier bola en la pirámide se caracteriza por sus coordenadas², es decir, las bolas son contados por un coeficiente binomial negativa - que es exactamente el resultado deseado. Esa es una buena prueba, pero no hace falta decir, que no es la prueba de que estoy buscando.)

¹ original post by Mariano Suárez-Alvarez, citado por Vaughn Climenhaga

² k-simplex es el subconjunto $x_0+\dots+x_k=1$, $x_i\ge0$ en $\mathbb{R}^{k+1}$, y la n-ésima k-simplex número es el número de número entero no negativo soluciones de $x_0+\dots+x_k=n$

Answer 1

Coloque las bolas de manera que las esquinas de la pirámide tiene las coordenadas (1,1,1), (n,1,1), (1,n,1), (1,1,n). Luego de que la pelota en (x,y,z) vemos que (x,x+y,x+y+z) es una ordenó triple de distintos números entre 1 y n+2 inclusive. Hay $\binom{n+2}{3}$ tal triples, y están claramente en una correspondencia uno a uno con las bolas. Geométricamente, esto corresponde a la elaboración de los planos x=constante, x+y=constante, y, x+y+z=constante a través de una pelota da, y viendo que estos planos que se cortan en el eje x.

(Para comparar con el caso de $k=2$, "enderezar" la imagen de arriba en un triángulo rectángulo. A continuación, las líneas diagonales que se convierten en rectas x=constante y x+y=constante, y la fila inferior de bolas (la azul) se pueden identificar con los puntos donde estas líneas se cruzan el eje x.)

Esto también funciona en las dimensiones superiores, dando a $\binom{n+k-1}{k}$.

Si esta prueba es realmente diferente de la que se sugiere en la pregunta, por supuesto, pueden ser debatido...