hallar el volumen por debajo de la parte del plano que está por encima del plano xy

Question

Mi función es $f(x,y) = 2-|x|-|y|$ y se supone que debo encontrar el volumen por debajo de la parte del plano que está por encima del $xy$ -avión.

No entiendo cómo encontrar los límites de mis integrales para este problema. He intentado trazar las líneas para todos los casos para los que el valor absoluto de $x$ y $y$ es tanto positivo como negativo, pero no veo los límites. ¿Hay alguien que tenga alguna sugerencia?

Answer 1

Pistas:

Por ejemplo, tomemos los aviones

$$\begin{cases}z=2-x-y\\z=2-x+y\end{cases}\implies y=0=\;\text{the $ \;xz\,- $ plane} $$

Así, proyectando sobre el $\;xy\,-$ plano, obtenemos

$$\begin{cases}y=2-x\\y=-2+x\end{cases}\implies 2x=4\implies x=2\,,\,y=0$$

Obsérvese que para el conjunto de los cuatro planos, se obtiene como proyección un cuadrado sobre el $\;xy\,-$ plano con vértices $\;(2,0),(-2,0)\;$ etc.

Answer 2

Pista. La gráfica de esta función no es un plano. Sin embargo, esta gráfica es simétrica respecto al plano $x=0$ ( $f(x,y)=f(x,-y)$ ) y el plano $y=0$ ( $f(x,y)=f(-x,y)$ ). Por lo tanto, basta con considerar el caso en que $x\geq 0$ y $y\geq 0$ y multiplicar el resultado por $4$ : $$V=4\int_{\{x\geq0, y\geq 0, x+y\leq 2\}}(2-x-y)\,dxdy =4\int_{x=0}^2\left(\int_{y=0}^{2-x}(2-x-y)\,dy\right)\,dx.$$ ¿Puedes seguir desde aquí?