¿La composición de funciones inyectivas implica que una de ellas es inyectiva?

Question

Supongamos que tenemos $f: X \to Y $ y $g:Y \to Z $ mapas. Demuéstralo:

1. $g \circ f $ inyectiva $\implies$ $f$ inyectiva
2. $g \circ f $ surjective $\implies $ $g$ es suryectiva

Intento:

1. Elige cualquiera $x,x' \in X $ con $x \neq x'$ . Debemos demostrar que $f(x) \neq f(x')$ . Como la composición es inyectiva, tenemos que $g ( f(x) ) \neq g ( f (x')) $ . De aquí se desprende que no podemos tener $f(x) = f(x')$ ya que de lo contrario contradiría la inyectabilidad de $g \circ f $ . De ello se deduce que $f(x) \neq f(x') $ . Por lo tanto, $f$ es inyectiva.

2. Elige arbitrario $z \in Z $ . Puede encontrar algunos $x \in X $ tal que $g ( f(x) ) = z $ . Elija $y = f(x) $ . Entonces tenemos que para cada $z \in Z $ podemos encontrar $f(x) = y \in Y $ tal que $g(y) = z $ . De ello se deduce que $g$ es suryectiva.

¿Es éste un planteamiento correcto de este problema? Sé que esto es elemental, pero me gustaría saber si estoy escribiendo matemáticas correctamente.

Answer 1

La primera también puede demostrarse de esta manera

1. Supongamos que $f(x)=f(y)$ . Tenemos que demostrar $x=y$ . Para nuestra hipótesis $g(f(x))=g(f(y))$ ya que $g\circ f$ es inyectiva, esto implica $x=y$ .