Pruebas $A=U_{r}S_{r}V_{r}^{T}$ para un SVD completo

Question

Dada la descomposición SVD completa de un rango $r$ matriz $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ ¿cómo podemos demostrar que $A=U_{r}S_{r}V_{r}^{T}$ donde $U\in\mathbb{R}^{m\times m}$ , $V\in\mathbb{R}^{n\times n}$ y $S\in\mathbb{R}^{m\times n}$ ?

Answer 1

Tenga en cuenta que : $$\begin{align*} A&=U S V^{T}=\left[U_{r} \mid U_{m-r}\right]\left[\begin{array}{c|c} S_{r} & 0_{r, n-r} \\ \hline 0_{m-r, r} & 0_{m-r, n-r} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} V_{r}^{T} \\ \línea V_{n-r}^{T} \[U_{r} \mid U_{m-r}]\left[\frac{S_{r} V_{r}^{T}}{0_{m-r, n}}right]\left[\frac{S_{r} V_{r}^{T}}{0_{m-r, n}}right &=U_{r} S_{r} V_{r}^{T} \end{align*}$$