¿Es un argumento válido para demostrar que una suma de recíprocos es irracional?

Question

Supongamos que tenemos una secuencia estrictamente creciente de números naturales.

Supongamos que la suma de los recíprocos de los elementos converge.

Y supongamos que los elementos tienen infinitos factores primos.

¿Implica esto que la suma de los recíprocos de los elementos es irracional?

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Mi único pensamiento es: sí:

• Nunca podemos encontrar un denominador común para todos los elementos
• Así que no hay manera de representar la suma como una simple fracción

Mi motivación viene de esta pregunta en $\frac{1}{11}+\frac{1}{111}+\frac{1}{1111}+\dots$

Ni siquiera estoy seguro de que $11,111,1111,\dots$ tienen infinitos factores primos.

Pero aún me preguntaba si este argumento (suponiendo que sea correcto) podría utilizarse.

Gracias

Answer 1

En el caso general, este argumento es falso.

Puede utilizar la secuencia Sylvester, definida de esta manera : $a_0 = 2$ y $a_{n+1} = \prod \limits_{k=0}^n a_k + 1$ .

Por lo tanto, $a_0 = 2$ , $a_1 = 3$ , $a_2 = 7$ , $a_3 = 43$ , $a_4 = 1807$ ...

Puede demostrar que $a_{n+1} = a_n(a_n - 1) + 1$ y también por inducción que $\sum \limits_{k=0}^n \frac{1}{a_k} = 1 - \frac{1}{a_{n+1} - 1}$ .

Así que $\sum \limits_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{a_k} = 1$ y el $a_k$ son todos coprimos (y $1$ es racional)